微积分概念入门（二）

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上一篇文章我们通过极限的概念，以积分的手段推导出了三角形面积公式。下方的图片是一个简单的复习与回顾。

对于数学的学习来说，技巧属于nice to have；而定义、概念与理论则属于must have。微积分的概念就属于这种放之四海而皆准的分析问题的手段。下面我们用同样方法实测孩子对这个思维方式的掌握程度。

我们首先把自己的身位放在遥远的古代，人们想测量一个圆的面积。很显然，按照定义我们是无法直接给出圆的精确面积的。因为我们的定义是根据矩形得出的，由弧线围成的图形是无法与直角边match上。不过，根据圆的特点，有两个数值特征作为古人还是可以轻易拿到的。

第一：圆的半径， 直接测量即可

第二：圆的周长，即可以直接测量，也可以通过计算与观察得出。孩子提到古人应该意识不到PI是一个无理数，但是，古人经过不断观察，应该可以发现圆周与半径之间一定通过一个常数相连。当然在这里为了计算方便，我们假定古人已经知道C=2PI*R

具体的分析方法如下：

首先将一个圆按照等距分成n个同心圆。然后将同心圆以半径切一刀打开。将打开的同心圆依次重叠平铺，可以形成下面的三角形状。三角形的底边是最外圈的同心圆，长度为2PI*R。

上图中同心圆分割形成的三角形的面积，理论上一定与原来的圆面积相等。下面我们将三角形略微改变位置放置在数轴中观察。

很容易就会发现我们可以根据前次推导出来的三角形面积公式，推导出圆形的面积公式来。

不用每一道题都用上”特殊的技巧“，微积分就是这么朴实无华。