微积分概念入门（四）

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如果大家有机会翻阅20世纪初美国哈佛大学的入学数学考试卷子，就会发现里面的内容简单到“令人发指”。就如今天的虎爸虎妈们对比20-30年前自己高考的考题和今年的试题，也会发现试卷的广度与难度都有明显的提高。一个笑话提到爱因斯坦的相对论刚发表的时期，全世界只有12个人能够理解他的理论；今天每一位大学中修物理专业的孩子，相对论和量子物理早就成为了必修课。

每一代人类的孩子们都有超越上一代人的聪明和理解力，家长万万不能沿用老一套 - "我当年是什么什么时候才学的什么什么..."，一定要创造机会给孩子，给予充分成长的空间。微积分算一个例子吧？它的思想贯穿了人类的整个工业革命，孩子越早理解掌握，就越有利于越早领略科学海洋的广阔与风浪。

但孩子自有自身的知识储备和理解力局限，接触微积分的途径断无法无高中孩子相同。应从他们已有的知识出发，多给予形象的例子，反复带领孩子理清思路，以积分为起始，首先明确微积分的基本分析方法。尤其重要的一点就是尽量使用浅显易懂的方式帮助孩子理解概念，而千万不要一上来就介绍微积分的符号。不然孩子一下子需要面对新的抽象概念和陌生符号，肯定是会打退堂鼓的。

虎爸虎妈遍寻了身边的林林种种微积分教材，很遗憾大多数教材都千篇一律，面向的阅读对象至少高中孩子，无法与上述的思路吻合。这样，只好想办法自己摸索合适小学程度孩子学习理解的微积分入门。

为了帮助孩子在大脑中形成积分的概念，昨晚虎爸与Eric再次review了通过三角形面积公式引入积分概念的过程。期间孩子提出了一个很有价值的问题，恰恰指出了大多数高中阶段微积分课本的不严谨之处，在此与大家共享。

孩子一直疑惑的地方是：先前通过在三角形内部分割小矩形来极限出面积。但是示例图中，我们采用的是内截矩形，总是会有一部分小三角形没有被计算在内。所以孩子直观感受下，最终得到的面积公式无论怎样都会缺少一些什么。

那么究竟这些“多余的”小三角形，在极限分割的情况下，对最终的结果有无影响呢？

其实我们的祖先 - 3000年前的阿基米德已经给出了解决这类问题的思路。那就是从内向外和从外向内两个方向同时进行极值逼近，当n趋近于无穷大时，如果两种逼近的最终结果是一样的，我们就可以完美证明出这个公式是正确的。