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证明：连续3个正整数，必然有一个是3的倍数

证明：连续3个正整数，必然有一个是3的倍数

作者: 艾辛图 | 来源:发表于2019-09-28 21:53 被阅读0次

可以使用数学归纳法证明这个命题。

如果这个命题正确，那么3个连续整数的乘积，必然是3的倍数，因为其中一个数字是3的倍数（另外2个不是）。反过来看，如果3个数的乘积能被3整除，那个因子3必然藏在3个数的其中之一。因此本证明，可以转化成证明3个连续正整数之积能被3整除即可。

首先假定3个连续的正整数为n, n+1和n+2

第一步：

当n = 1时，3个连续的正整数为1,2,3，它们的乘积为6，能被3整除。

第二步：

当n = k时，下面式子得到正整数结果。

\frac{k(k+1)(k+2)}{3} = \frac{k^3+3k^2+2k}{3}

第三步：

当n = k + 1时，第二步式子变成：

\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} =\frac{k^3+6k^2+11k+6 }{3}

=\frac{(k^3+3k^2+2k)+(3k^2+9k+6)}{3}

=\frac{k^3+3k^2+2k}{3} + \frac{3(k^2 + 3k + 2)}{3}

这个表达式的第一个分式，是第二步的结果，即得出整数结果。第二个分式因为分子分母都有因子3，互相抵消，剩下的也是一个整数结果。

因此n = k + 1的情况也为真。

命题得证。

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