怎么利用正、余弦定理解决与面积有关问题？

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-08-09 08:11 被阅读0次

怎么利用正、余弦定理解决与面积有关问题？
2018-06-14--数学基本概念01
iOS--动画之view绕view旋转
《利用面积解决问题》教学反思
2017高考数学（全国卷）理科第17题解三角形题解析/微信公众号
解三角形问题的6种突破方法，收藏起来
怎么利用正、余弦定理解三角形中的边和角？
利用正、余弦定理判断三角形的形状
用想象力去接近无穷－－赴约翰内斯堡途中随笔
拓展课详稿

利用正、余弦定理解决与面积有关问题

正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

类型一判断三角形的形状

类型二解三角形中的边和角

类型三解决与面积有关问题

使用情景：三角形中

解题步骤：

第一步主要利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边；

第二步结合三角形的面积公式直接计算其面积.

【例】在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a=2$ ， $b=\sqrt{7}$ ， $B=60^\circ$ ．

（1）求 $c$ 及 $\triangle ABC$ 的面积；

（2）求 $\sin(2A+C)$ ．

【解析】

（1）由余弦定理有 $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ ，

即 $7=4+c^2-2\times 2 \times c\times \dfrac{1}{2}$ ，

$c^2-2c-3=0$ ，解得 $c=3$ 或 $c=-1$ （舍去）；

所以 $\triangle ABC$ 的面积 $S=\dfrac{1}{2}ac\sin B=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}$

（2）由正弦定理有： $\dfrac{\sqrt{7}}{\sin 60^\circ}=\dfrac{2}{\sin A}$ 得 $\sin A=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$ ．

$\because a<b$ ， $B=60^\circ$ ， $\therefore$ 为锐角，则可得 $\cos A=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$

$\because 2A+C=(A+C)+A=(180^\circ -B )+A=120^\circ +A$

$\therefore \sin(2A+C)=\sin (120^\circ +A)$

$=\sin 120^\circ \cos A +\cos 120^\circ \sin A$

$=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times \dfrac{2\sqrt{7}}{7}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times \dfrac{\sqrt{21}}{7}$

$=\dfrac{\sqrt{21}}{14}$

【点评】

（1）利用余弦定理求出边长 $c$ 的长，再求三角形面积；

（2）首先由正弦定理可求出 $\sin A=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$ ，进而得到 $\cos A=\dfrac{2\sqrt{7}}{7}$ ，再通过内角和及 $B=60^\circ$ 将角 $2A+C$ 转化为 $120^\circ +A$ ，从而通过两角和的正弦公式求得 $\sin(2A+C)=\dfrac{\sqrt{21}}{14}$ ．

【例】在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $A=2C$ ， $a=\sqrt{3}c$ ，若 $\sqrt{3}ab+c^2=28$ ，则 $\triangle ABC$ 的面积为____．

【解析】

由正弦定理，知 $\dfrac{a}{c}=\dfrac{\sin A}{\sin C}$ ，即 $\dfrac{\sqrt{3}c}{c}=\dfrac{\sin 2C}{\sin C}$ ，

即 $\sqrt{3}=\dfrac{2\sin C \cos C}{\sin C}=2\cos C$ ，

所以 $\cos C=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，所以 $C=30^\circ$ ，

所以 $A=60^\circ$ ， $B=90^\circ$ ．

因为 $a=\sqrt{3}c$ ，所以 $b=2c$ ，

又 $\sqrt{3}ab+c^2=28$ ，

所以 $c=2$ ，

所以 $S=\dfrac{1}{2}ac=2\sqrt{3}$ ．

【总结】解三角形问题，多为边和角的求值问题，其基本步骤是：

（1）确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；

（2）根据条件和所求合理选择正弦定理与余弦定理，使边化角或角化边；

（3）求解．

怎么利用正、余弦定理解决与面积有关问题？
正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角...
2018-06-14--数学基本概念01
正余弦定理正余弦定理指正弦定理和余弦定理，是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决三角形的问题，若对余弦...
iOS--动画之view绕view旋转
该动画利用三角形的正余弦定理来实现核心代码 _imageView= imageView; self.cente...
《利用面积解决问题》教学反思
《利用面积解决问题》教学反思本节课的教学是通过学会生的自主探究、讨论帮助学生运用“平移”的知识解决问题，引导学...
2017高考数学（全国卷）理科第17题解三角形题解析/微信公众号
本题考查正弦定理和余弦定理。第一问结合三角形的面积公式与正弦定理，就可以直接解决，第二问运用第一问的结论结合三角函...
解三角形问题的6种突破方法，收藏起来
解三角形应用问题其实就是把自然语言转化成数学几何语言，利用正余弦定理解三角形相关性质解题，难度不大，首先要克服的是...
怎么利用正、余弦定理解三角形中的边和角？
正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角...
利用正、余弦定理判断三角形的形状
正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角...
用想象力去接近无穷－－赴约翰内斯堡途中随笔
如果说，一个数学问题能够同时与欧洲文艺复兴有关，与人类文明进步有关，与为想象力赋予翅膀有关，与曲线、速度、面积、极...
拓展课详稿
同学们前面我们已经非常系统的学习了和面积相关知识，也学会了用学过的知识去解决问题，今天我们上一节有关面积的趣味拓展...