怎么利用正、余弦定理解三角形中的边和角？

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-08-07 08:38 被阅读0次

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利用正、余弦定理解三角形中的边和角

正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.

类型一判断三角形的形状

类型二解三角形中的边和角

使用情景：三角形中

解题步骤：

第一步直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理；

第二步利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论.

【例1】 $\triangle ABC$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a=\sqrt{7}$ ， $b=3$ ， $c=2$ ，则 $\angle A=$ （）．

A． $30^\circ$ B． $45^\circ$ C． $60^\circ$ D． $90^\circ$

【答案】C

由余弦定理 $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{9+4-7}{2\times3\times2}=\dfrac{1}{2}$ ，

又由 $A \in (0,\pi)$ ，得 $A=\dfrac{\pi}{3}=60^\circ$

故选C.

考点：余弦定理.

【点评】余弦定理主要解决两类三角问题：其一是已知三边求其中一角的情况；其二是已知两边及其一夹角求另一边的情况.

【例2】在 $\triangle ABC$ 中， $a=2$ ， $b=\sqrt{2}$ ， $A=\dfrac{\pi}{4}$ 则角 $B$ （）

A． $\dfrac{\pi}{6}$
B． $A=\dfrac{\pi}{6}$ 或 $A=\dfrac{5\pi}{6}$
C． $\dfrac{\pi}{3}$
D． $\dfrac{5\pi}{6}$

【答案】A

【解析】

由题意得，根据正弦定理可知 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}$ ，

即 $\dfrac{2}{\sin \dfrac{\pi}{4}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sin B} \Rightarrow \sin B=\dfrac{\sqrt{2}\sin \dfrac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{\sqrt{2} \cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2}=\dfrac{1}{2}$

又因为 $a>b$ ，所以 $B=\dfrac{\pi}{6}$ ，故选A．

考点：正弦定理.

【总结】正弦定理主要解决两类三角问题：

其一是已知二边及其一边的对角求其中一角的情况；

其二是已知一边及其一对角求另一边的情况.

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