前言

我对时间序列分析和自动控制原理十分感兴趣，学的有点浅薄了。
本来已经不使用简书了，但是写latex公式的博客只有知乎和简书，开源中国博客不行。
简书和开源中国更多的是博客性质，压力没那么大，知乎引流有点让人心理包袱大。
写一个博客，专注备份自己对傅里叶变换和快速傅里叶变换的理解，回头能重新温故而知新。
关键词：傅里叶变换；快速傅里叶变换；FFTPack；Fortran

傅里叶（反）变换

正变换
$F(\omega)=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-j \omega t}d t$
反变换
$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int^{\infty}_{-\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$

傅里叶变换提取了时间序列中的各频率分量。

拉普拉斯变换
$F(s)=\int^{\infty}_{-\infty}f(t)e^{-st}dt, s=\sigma+j\omega$

拉普拉斯变换 $F(s)$ 可以理解为 $f(t)e^{-\sigma t}$ 的傅里叶变换， $e^{-\sigma t}$ 也被称为拉普拉斯变换的核。

点评： $f(t)=e^{-t}, t\to\infty$ 具有很强的收敛特性，傅里叶变换和拉普拉斯变换都采用了这个特性，但是拉普拉斯变换相较于傅里叶变换，加强了这样的收敛特性，以至于它适用于更多的实际问题，拉普拉斯变换可以退化为傅里叶变换。

$f^{'}(t)=sF(s)-f(0)$

这是拉普拉斯变换的一个特性，当系统的 $f(0)=0$ 时，在一些单边二阶振动方程中非常好用，比如船舶耐波性理论。

快速（离散）傅里叶变换

天下武功，唯快不破？！快速傅里叶变换算法结合现代计算机，使得傅里叶分析非常实用。
1965年库利和图基提出了著名的快速傅里叶变换FFT，将一维DFT提升到了 $O(N/log_2{N})$ 时间复杂度（二维DFT是 $O(MNlog_2{MN})$ ）。

（双边）Z变换

$X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n}, z=e^{sT}, T为采样周期$
离散信号的 $z$ 变换 $X(z)$ 是采样信号 $x_s(t)$ 的拉普拉斯变换中将变量 $s$ 换为变量 $z$ 的结果，很容易将其退化为傅里叶变换内容。
这里利用到了 $\delta$ 函数的傅里叶（拉普拉斯）变换为1和时延性质。