现在每次家庭聚会讨论完国际局势、民生大事，最后总要回归到小朋友教育上。而且每次都是以一道小学生算术题推向高潮。
这次的题目是一道小学三年级算术题：
一个仓库，第一天搬走一半少 10 吨，第二天搬走剩下的一半多 6 吨，第三天搬走 40 吨，还剩 30 吨。问原来仓库有多少吨？
解法一：上方程
| 第几天 | 搬走 | 剩下 |
|---|---|---|
| 第一天 | x / 2 - 10 |
x / 2 + 10 |
| 第二天 | (x / 2 + 10) / 2 + 6 |
(x / 2 + 10) / 2 - 6 |
| 第三天 | 40 |
30 |
(x / 2 + 10) / 2 - 6 = 40 + 30
解出来就是 284 。
但是，小朋友理解不了啊。答案都拿到手了，剩下的还不简单吗？
解法二：倒推
| 第几天 | 搬走 | 剩下 | 该天原本的存量 |
|---|---|---|---|
| 第三天 | 40 |
30 |
40 + 30 → 70 |
| 第二天 | 第二天的存量 / 2 + 6 |
第二天的存量 / 2 - 6 = 70 |
(70 + 6) × 2 → 152 |
| 第一天 | 第一天的存量 / 2 - 10 |
第二天的存量 / 2 + 10 = 152 |
(152 - 10) × 2 → 284 |
这其实还是方程的内核，包装了一下。但，小朋友反应，还是听不懂。
好吧，上树形结合。
解法三：线段图
还不能理解？好吧，祭出大杀器。
解法四：实物法。
假设一开始仓库有 🛢🛢🛢🛢 吨。注意：跟小朋友讲解时，需要用两种不同的道具表示 🛢（表示若干吨）& 🍚（表示 1 吨） 。
| 第几天 | 搬走 | 剩下 |
|---|---|---|
| 第一天 | 🛢🛢 - 🍚🍚🍚🍚🍚 🍚🍚🍚🍚🍚 |
🛢🛢 + 🍚🍚🍚🍚🍚 🍚🍚🍚🍚🍚 |
| 第二天 | 🛢 + 🍚🍚🍚🍚🍚 + 🍚🍚🍚🍚🍚 🍚 |
🛢 - 🍚 |
| 第三天 | 🍚🍚🍚🍚🍚 🍚🍚🍚🍚🍚 🍚🍚🍚🍚🍚 🍚🍚🍚🍚🍚 🍚🍚🍚🍚🍚 🍚🍚🍚🍚🍚 🍚🍚🍚🍚🍚 🍚🍚🍚🍚🍚 |
🍚🍚🍚🍚🍚 🍚🍚🍚🍚🍚 🍚🍚🍚🍚🍚 🍚🍚🍚🍚🍚 🍚🍚🍚🍚🍚 🍚🍚🍚🍚🍚 |
所以，原来有 4 × 🛢 = 4 × (70 + 1) 吨。
好了，小朋友终于明白了。其实也不是完全明白，问「为什么一开始要假设有 4 份 🛢 ？」。你可以把它理解为数学直觉，也可以看作是某种估算。「一半又一半，我感觉答案在 ¼ 附近」，也许是这种理由吧。
为什么小朋友不能理解线段法？
可能是因为小朋友并不能区分一条线段是代表抽象还是具体。线段图上有的代表着具体的数字（e.g. 10t 5t），有的又代表抽象（e.g. 一半 剩下的一半）。而解法四则用不同的实物区分了这两者。
为什么数形结合有用？
小朋友肯定是不能理解这一点，但多年以后也许会明白：好的数形结合，画的是一个问题的内在结构。就像「资产负债表」一样，一张图把资产分布标得明明白白。
数形结合的另一个作用是，节省心理寄存器。或者说任何的草图都有这个功效。这道题笔算并不算难，但心算就很吃力，就是因为心理寄存器不够。草图能够释放占用的心理寄存器，帮助我们走得更深。但可能的副作用就是，久而久之，快速反应能力可能变差。
进入高中阶段，数形结合还是「映射 & 变换」的一个展示工具。那个时候，就可以搬出最好的学习项目——微积分——了。
关于应不应该教小学生用方程解题？
每次一提到用方程解小学算术题，我孃第一个跳出来「哪个年龄说那个年龄的话，你的方程论在小朋友这里是行不通的」。那么我们来说道说道。
不行的原因可能有三：
- 方程这种方法超纲了。那么呵呵，我们应该尊重的是小朋友的生长规律，而不是砖家🧱的规定。
- 方程背后是一套复杂的系统（就像微积分那样），小朋友难以理解。这个观点似乎有一点点道理。方程的核心是将未知量与已知量混着一起，以最自然的方式列出恒等关系，然后再利用变换法则（同类项合并啦、移项啦）求解。但总体来说，应该在可以理解的范围。
- 小朋友还不能理解抽象。这个观点我确实还不敢做实。但一般人谁又敢说自己理解抽象呢？我们对抽象的理解，始终是在用某个具像化的图像替代。比如无穷大∞，可能就是一支长长的、看不到尽头的队伍。或许我们根本就是用「小朋友心理寄存器不够」这个问题偷换了「小朋友能不能理解抽象」。
所以，在我看来，这三个证据都不是那么站得住脚。我们不一定非得告诉小朋友，这是方程、设一个未知数……。我们可以用方程的实质，而非形式。这就是本文想要讨论的。
关于数学品味
这主要是对家长说的。或者可以看出是「什么值得教」「什么值得学」的一个子问题。我看到很多小朋友，总是一副「这有什么可讨论的😒」的表情。以前我只是觉得这些小朋友缺乏深入、具体地解决问题的态度。但现在想来，是数学品味没培养好。
知道珍惜一个好的数学课题，可以谓之好。什么是好？可能不好定义。但什么是坏的品味，却有迹可循。就像色彩上「大红配大绿，多半赛狗屁🌬️」，坏的数学品味反映在：
- 过于看重技巧，而不知实质。其中最臭的要算给技巧取名字。
- 只注重解决，而不是简单优雅地解决。
如何培养好的数学品味？其实前面已经给出答案了，就是深入、具体地解决问题。何谓深入？看到问题的内在结构，谓之深入。何谓具体？与更多的概念产生关联，谓之具体。简单地说，就是找到一个下金蛋的鸡🐔，多找到几种解决办法。
当我听到这个故事，还是比较震撼。之前我还真没去想过怎么表示抽象 & 具象。我总是习惯于用字母表示抽象，数字表示具象。而其实对于小朋友来说，两者都是抽象。
在数学学习上，「显然」是大敌。回想小时候，我多少次囫囵吞下，其实并不清楚地知道每一个细节。记得上世纪的一个大家说过[1]（好像是一毛子大师，具体是谁记不清了），解决数学问题有两种办法，一种是像剥椰子🥥一样，放到水里泡着，时间久了也就松了；还有一种是搬来推土机把山⛰️推平。对我而言，学校里教的，大都是水泡法这类技巧，而实际生活中往往连水都找不到，或者要求你马上解决，连找水的时间都不给你。所以「大力出奇迹」往往是手头仅有的方案。而这条路并不好走。但，它却可能是更加自然而然地解决路径。能自然而然地解决，并不是一件易事，但却是一件趣事。
所以，最后还是旗帜鲜明地摆明态度：能用技巧解决的问题，可能就像有理数在全体实数中的占比。大力出奇迹，看似无趣，却是更加自然而然的解决方案。而我信奉，自然而自然地思考。
（版权属于某位中年油腻老男人）
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一说是张寿武说他的老师 Faltings ：做数学碰到一座山，一般人是爬雪山过草地，找一条近路走走，但他是用推土机将山推平了或者用炸弹给炸掉，他不会用技巧来做这件事，他完全是用力量来做的，他是那种力量型的。这是我在数学家中唯一见到的风格，他的力量太大了，这对我的影响很大。 ↩
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