三体问题

让我们首先了解什么是三体问题。三体问题（或 3BP）是更广泛的n体问题的特例，它涉及预测天体在彼此引力影响下的运动。与更简单的二体问题 (2BP) 不同，三体问题没有封闭形式的解。这意味着必须使用初始条件（位置和速度）和数值方法来估计物体的运动。对于实际应用，3BP 可以专注于围绕两个较大质量（也称为初选）运行的卫星的运动；这些可能是卫星、行星或恒星。

一颗卫星在两个较大的主星影响下的运动通常是混乱的，这意味着该运动很难预测。这就是我们使用现代数值方法尽可能准确地估计/预测此运动的原因。为了估计 3BP 运动，需要创建一个模型，其中涉及使用牛顿运动定律和牛顿万有引力定律。推导可能难以理解。这是一个更简单的推导，可以帮助您更好地理解后续的推导。现在，开始理解任何物理问题的最佳起点是精心绘制的图表。

3BP图

三体问题

上图显示了 3BP 的标准设置。初级表示为m₁和m₂，其中m₁通常是两个质量中较大的一个。卫星（或其运动感兴趣的物体）被标记为m₃。尽管我们将卫星标记为质量 3，但出于实际目的，与主卫星相比，该质量可以忽略不计。由于第三个质量被认为可以忽略不计，因此较大的两个质量的轨道可以被认为是圆锥 (2BP) 轨道。这大大简化了推导。此外，通常研究椭圆和圆形主轨道的特殊情况，称为椭圆限制 3BP (ER3BP) 或圆形限制 3BP (CR3BP)。

考虑到这一点，两个原色的重心或质心可以被认为是一个惯性点，标记为O。该系统中有两个固定在重心的坐标系：一个随原色旋转的旋转坐标系（x-和y -hat）和一个不旋转的惯性坐标系（X-和Y -hat）。在任何给定时间，这两个帧都以角度θ分隔。还有一些位置向量（d₁、d₂、r₁、r₂和ρ) 确定质量相对于惯性重心的位置（对于使用牛顿运动定律很重要）和m₃相对于原色的位置。此推导的相关向量是ρ，因为它将确定卫星的惯性运动。

无量纲化

可怕的词，我知道，但它并不像看起来那么复杂。这不是必要的步骤，但确实可以更轻松地推导 3BP 的运动方程。无量纲化是一种从问题中提取物理维度的方法，对于简化数学表达式很有用。让我们以 3BP 为例。我们可以如下定义质量、长度和时间的无量纲化参数（按照惯例）：

image.png

这里，a是两个原色运动的半长轴，G是万有引力常数。这可能还没有意义，所以我将演示如何将地月系统中的一组初始条件（本例中的两个初始条件）无量纲化。该特定系统的无量纲化参数为：

image.png

现在，如果我们有一个状态向量（位置和速度向量的组合），那么我们可以按如下方式对其进行无量纲化：

image.png

请注意，无量纲向量没有单位，我们使用维度参数删除了km和s单位。此过程反向进行，因此如果您想重新添加维度，只需乘以或除以L、M或T*。

推导 ER3BP 运动方程

制定三体问题的最后也是最长的一步是推导可忽略质量m₃ 的运动方程。首先，我们需要做一些假设，其中一些已经提到过。我们假设m₃ << m₁和m₂；这意味着m₁和m₂以不受扰动的二体运动（开普勒运动）运动。此外，m₁和m₂被视为质点（这简化了推导）。我们将从m₁和m₂的情况开始推导在围绕重心 (ER3BP) 的椭圆轨道上移动，然后简化此结果以获得 CR3BP。为了方便起见，我们首先定义质量比：

image.png

下一步是将牛顿第二运动定律和牛顿万有引力定律应用于m₃。

image.png

上面的等式是m₃的维度加速度（刻度代表二阶时间导数）。现在，无量纲化参数可用于通过将加速度乘以 ( T* )² 再除以L*来从系统中移除物理维度（因为加速度的单位是长度与时间的平方）。

image.png

在上面的等式中， ρ向量上方的点代表 ND 二阶时间导数，r₁和r2是 ND 向量。现在我们可以使用运动学来确定m₃的速度和加速度的分量。这对于创建运动方程的标量形式很重要。基本运动学方程或BKE可用于执行此操作：

image.png

将 BKE 应用于ρ以获得一阶时间导数或速度

image.png

使用椭圆轨道的 2BP 几何，您可以导出θ的变化率：

image.png

这里，h是m₁ - m₂系统的比角动量，R是两个主要质量之间的瞬时距离（在 ER3BP 中随时间变化），e是椭圆轨道的偏心率，E是偏心异常. 现在，再次应用 BKE 以获得加速：

image.png

接下来，我们可以结合加速度矢量的两个方程，但首先我们应该从图中定义位置矢量。d₁和d₂是使用二粒子系统质心方程定义的（因为m₃可以忽略不计）。r₁、r₂和ρ可以使用图表和向量减法来定义。

image.png

现在，我们可以在第一个加速度方程中使用r₁和r₂的定义，然后将ρ加速度方程组合如下：

image.png

组合等式 (1) 和 (2) 的类似项（x -hat、y -hat 和z -hat）：

image.png

上述方程表示旋转坐标系中m₃的 ER3BP 运动方程。ER3BP 很难与θ项进行数值积分；但是，可以做出假设来简化方程以获得 CR3BP，这是一个更容易集成的问题。在 CR3BP 中，原色围绕质心在圆形轨道上运动。这意味着：

image.png

然后，使用这些新假设简化 ER3BP 方程：

image.png

这些方程表示m₃的 CR3BP 运动方程。可以对它们进行数值积分，以获得旋转坐标系中m₃的位置和速度的时间历程。请注意，对于 CR3BP，原色将在旋转坐标系中保持静止。为了从 CR3BP 中的旋转矢量获得惯性矢量，我们可以使用以下等式：

image.png

此处，x、y和z表示旋转坐标系矢量分量，X、Y和Z表示惯性坐标系矢量分量。