算法学习：回溯和剪枝

一、理论

回溯

1. 本质：和深度优先遍历思想是一致的，都是递归的应用；搜索空间可以理解成一棵树，需要自顶向下不断枚举出所有的情况。
2. 写法的关键：循环和递归。

• for循环的作用在于另寻它路，可以逐个选择当前节点下的所有可能往下走下去的分支路径。
• 递归可以实现一条路走到黑和回退一步，把递归放在for循环内部，那么for每一次的循环，都在给出一个路径后进入递归，继续往下走。

3. 代码模版

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

剪枝

1. 定义：剪枝算法是排除搜索空间中不可能包含最优解的部分，从而减少搜索时间以及空间复杂度。
2. 实现方式：
   A. 可行性剪枝
   利用问题的特性进行剪枝；在搜索过程中，根据问题的特点，排除不符合条件的搜索分支。
   B. 排除等效冗余
   当几个枝桠具有完全相同的效果的时候，只选择其中一个走就可以了。
   C. 最优性剪枝
   所谓最优性剪枝，是在我们用搜索方法解决最优化问题的时候的一种常用剪枝方法。当搜到一半的时候，发现比已经搜索到的最优解差，则该方案肯定是不行的，即刻停止搜索，进行回溯。
   D. 顺序剪枝
   普遍来讲，搜索的顺序是不固定的，对一个问题来讲，算法可以进入搜索树的任意的一个子节点。但假如我们要搜索一个最小值，而非要从最大值存在的那个节点开搜，就可能存在搜索到最后才出解。而我们从最小的节点开搜很可能马上就出解。这就是顺序剪枝的一个应用。一般来讲，有单调性存在的搜索问题可以和贪心思想结合，进行顺序剪枝。
   E. 记忆化搜索
   记忆化搜索其实是搜索的另外一个分支。在这里简单介绍一下记忆化的原理：就是记录搜索的每一个状态，当重复搜索到相同的状态的时候直接返回。

二、算法实践

问题链接

37. 解数独

问题描述

编写一个程序，通过填充空格来解决数独问题。
数独的解法需 遵循如下规则：
数字 1-9 在每一行只能出现一次。
数字 1-9 在每一列只能出现一次。
数字 1-9 在每一个以粗实线分隔的 3x3 宫内只能出现一次。（请参考示例图）
数独部分空格内已填入了数字，空白格用 '.' 表示。

示例

输入：board = [["5","3",".",".","7",".",".",".","."],["6",".",".","1","9","5",".",".","."],[".","9","8",".",".",".",".","6","."],["8",".",".",".","6",".",".",".","3"],["4",".",".","8",".","3",".",".","1"],["7",".",".",".","2",".",".",".","6"],[".","6",".",".",".",".","2","8","."],[".",".",".","4","1","9",".",".","5"],[".",".",".",".","8",".",".","7","9"]]
输出：[["5","3","4","6","7","8","9","1","2"],["6","7","2","1","9","5","3","4","8"],["1","9","8","3","4","2","5","6","7"],["8","5","9","7","6","1","4","2","3"],["4","2","6","8","5","3","7","9","1"],["7","1","3","9","2","4","8","5","6"],["9","6","1","5","3","7","2","8","4"],["2","8","7","4","1","9","6","3","5"],["3","4","5","2","8","6","1","7","9"]]

解题思路

1. 遍历整个数独，获取数字在行、列、宫格中的出现情况，以及空闲位置。
2. 用递归的方法，给空闲位置挨个放数，放数的同时校验行、列、宫格内的重复性，如果发生重复，就剪掉并回溯。

代码示例（JAVA）

class Solution {
    // 表示行、列、宫格中数字的出现情况
    private boolean[][] row = new boolean[9][9];
    private boolean[][] column = new boolean[9][9];
    private boolean[][][] grid = new boolean[3][3][9];
    // 找出需要放入数字的位置
    private List<int[]> empty = new ArrayList<int[]>();

    public void solveSudoku(char[][] board) {
        // 遍历整个数独，获取数字在行、列、宫格中的出现情况，以及空闲位置
        for (int i = 0; i < 9; ++i) {
            for (int j = 0; j < 9; ++j) {
                if (board[i][j] == '.') {
                    empty.add(new int[]{i, j});
                } else {
                    int index = board[i][j] - '0' - 1;
                    row[i][index] = column[j][index] = grid[i / 3][j / 3][index] = true;
                }
            }
        }

        dfs(board, 0);
    }

    public boolean dfs(char[][] board, int pos) {
        // 递归终止条件
        if (pos == empty.size()) {
            return true;
        }

        int[] target = empty.get(pos);
        int i = target[0], j = target[1];
        for (int k = 0; k < 9; ++k) {
            // 经过校验，可以放入k；校验失败就不要了（剪枝）
            if (!row[i][k] && !column[j][k] && !grid[i /3][j / 3][k]) {
                // 放入k，并更新数字出现情况，且继续递归
                board[i][j] = (char) (k + '0' + 1);
                row[i][k] = column[j][k] = grid[i / 3][j / 3][k] = true;
                // 递归到下一层
                if (dfs(board, pos + 1)) {
                    return true;
                }
                // 失败，回溯
                row[i][k] = column[j][k] = grid[i / 3][j / 3][k] = false;
            }
        }
        // 找不到可以放入的k，return false
        return false;
    }
}

参考文章

数据结构与算法之剪枝算法
什么是算法中的剪枝？