（11.2）James Stewart Calculus 5th

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Series 级数

类似

这样的数列，叫做 ** infinite series 无限级数** （或者 series 级数）
（这里，为什么要翻译成 级数...， 不翻译成 系列，连续数 ？？... 我也是服了 ，在名词上，总是让人感到）

可以简单写成：

或者

一些级数的和
例如：

我们可以得到（过程略）
n(n + 1) / 2

再例如：

通过表格，我们可以知道

所以，我们可以得到，当n为无穷大的时候，有

当然，n有限的时候
可以理解为 partial sums 部分和

可以简单写成

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convergent 收敛 和 divergent 发散

当然，还有一种写法：

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例子1 geometric series 几何级数（也就是 等比数列）

（自己看见一个东西，在不同的课本，叫不同的名字， 其实 第一感觉，就是让人郁闷， 为什么知识这样的东西， 没有一个总的调整，:-( 中国不缺人才，只缺为人才考虑的人）

求法也很简单

相乘后，交叉相减即可

当 -1 < r < 1 的时候，

其他时候，发散

也就是：

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例子2

很容易发现，对应的比例 r = - 2/3
我们知道， |r| < 1
所以，收敛

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例子3

我们简单变化，有：

这个时候，我们知道 4/3 > 1
所以，级数 是 发散的

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例子4

我们可以把它变化成：

求对应的级数和：

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例子5

根据公式，直接有：

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例子6

相信，这是小学最常见不过的奥数题了
一般课本，初中也经常出现
（感觉中国最常见的是， 总是用复杂的东西，去考下面的人，最后生活中，又不去应用...）

题目，其实就是：

由：

可得：

所以，

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例子7 (harmonic series 调和级数)

这里要证明是发散的，
虽然不好直接证明，但是可以缩小以后，证明缩小的是发散的

所以：

所以，我们可以得到对应的值，是 无穷大的
所以是 divergent 发散的

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理论

不证明了，简单贴一下过程：

简单的推导

一些级数的加减乘除

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例子９

单独求以后，相加即可

又由：

所以，我们简单连接有：