导数与微分

作者: 君慕獨奏 | 来源:发表于2020-06-02 14:54 被阅读0次

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高等数学
高等数学(二)导数与微分
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导数与微分
导数、微分、积分、三角函数的基本公式
一元函数微分学（高等数学竞赛2）
导数、微分、偏导数、全微分、方向导数、梯度的定义与关系

一. 导数定义

若是极限 $\lim_{x\to0} \frac{△y}{△x} = \lim_{x\to0} \frac{f(x_{0} + △x ) - f(x_{0} )}{△x}$ 存在，则称函数y = f(x)在点 $x_{0}$ 处可倒

k值直线用一般函数关系就可以求出来，曲线才需要求导，并称次极限为函数y = f(x)在点 $x_{0}$ 处的导数。

二. 常用的导数定义形式

定义

$f ^,(x_{0} ) = \lim_{x\to0} \frac{f(x) - f(x_{0} )}{x- x_{0} } 或者f ^,(x_{0} ) = \lim_{x\to0} \frac{f(x) + f(△x )}{△x }$

单侧导数

左导： $f_{-}^, (x_{0} ) =\lim_{x\to x_{0}^- } \frac{f(x) - f(x_{0} )}{x- x_{0}} \Rightarrow \lim_{x\to 0^- } \frac{f(x_{0} + △x) - f(x_{0} )}{△x}$

右导： $1^∞$ $f_{-}^, (x_{0} ) =\lim_{x\to x_{0}^+ } \frac{f(x) - f(x_{0} )}{x- x_{0}} \Rightarrow \lim_{x\to 0^+ } \frac{f(x_{0} + △x) - f(x_{0} )}{△x}$

必要条件：左导 = 右导

例子1:

思路：注意关键字" 左导 "根据公式 $f ^,(x_{0} ) = \lim_{x\to0} \frac{f(x) - f(x_{0} )}{x- x_{0} }$ ，最后代入数据，需要用到 $1^∞$ 关系求出结果。

例子2

函数在某点处可导的充分必要条件： $f^,(x_{0} ) = A \Leftrightarrow f_{-}^,(x_{0} ) = f_{+}^,(x_{0}) = A$

分析：根据公式 $f ^,(x_{0} ) = \lim_{x\to0} \frac{f(x) - f(x_{0} )}{x- x_{0} }$ 代入数据，得结果。c选项，画图可以看出左右两边的斜率一定是不相等，所以就是不可导的。

三. 导数定义式极限

快速解法技巧：

问题来了怎么求R值？很简单：只要去f最后得出的数即是了

例一

解析：按照快速解法的技巧： $\lim_{} y△ = Rf^,(x_{0} ) \Rightarrow R = \frac{3△x}{2△x} = \frac{3}{2}\Rightarrow 即 \lim_{} y△ = Rf^,(x_{0} ) = \frac{3}{2}* 1 = \frac{3}{2}$

例二

解析：也是同样的道理按照快速解法的技巧：

例三

解析：老办法快速解法技巧： $\lim_{} y△ = Rf^,(x_{0} )\Rightarrow R = \frac{3△x}{△x} = 3 \Rightarrow \lim_{} y△ = Rf^,(x_{0} ) = 6\Rightarrow f^, (x_{0} ) = 2$

四. 可导与联系

1. 连续：不间断的，可导：光滑的

重要式子，转折点（连续不可导）

| x | , x = 0

| x - 1 | , x = 1

| x+ 1 | , x = -1

2. 可导与连续的关系：可导 $\Rightarrow$ 连续

注：（1）充分条件：顺箭头推

（2）必要条件：逆箭头推

（3）原命题成立，逆否命题也成立。

五. 导数公式与运算

1. 导数的基本公式

2. 复合函数（从外到里）

特殊例子：

$y = \sin x ^2$ $\Leftrightarrow$ $y = sim^2 x = (\sin x )^2$

导数的的几种形式：

$f^,(x) \Leftrightarrow y^,\Leftrightarrow \frac{dy}{dx}$

六. 隐函数求导

1. 隐函数：y = y(x)由方程F(x,y）= 0所确定，求 $\frac{dy}{dx}$ . 如: $x + e^yx -1 = 0$

2. 方法：隐函数求导公式 $\frac{dy}{dx}$ = $-\frac{F_{x} }{F_{y}}$ （注： $\frac{dx}{dy} = -\frac{F_{y} }{F_{x}}$ ），（ $F_{x}$ :实际上就是F对x的偏导，同理 $F_{y}$ ），（偏导：就是只对x求导，或者只对y求导）

例题

例一

解析：一看就可以确定，我们可以拿 $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_{x} }{F_{y}}$ 进行偏导计算。

解：

因为， $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_{x} }{F_{y}}$

所以， $令 F(x, y ) = x + y + xy -1$

得， $F_{x} = 1+y；F_{y}= 1+x$

所以有， $-\frac{F_{x} }{F_{y}} = \frac{1+y}{1+x} = \frac{d_{y}}{d_{x}}$

例二

解析：同样道理，我们可以通过 $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_{x} }{F_{y}}$ 进行偏导计算。因为他已经把x值告诉你了。所以，我们，我们把它打入原式就可以得出y值，最后代入，得出结果。（省略步骤。。。。。。）

七. 参数方程求导

1. 参数方程

例一

思路：按照公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{y’(t)}{x’(t)}$ 。分别对y， x进行偏导。然后在进行化简，代数，得出结果。记住当中有一个化简，需要把正切幻化成余弦来，计算方便。

例二

八. 对数函数求导

1. 单边取对数

例子

2. 双边取对数

。

例一

求 $y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ 的导数

解法: 像这种连乘连除的，应该使用双边取对数的方式。

$所以y’ = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} * \frac{1}{2}( [\frac{1}{x-1}+ \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4} ]$

10. 求高阶导

所求阶数不熟太高的话，连续求导即可

解法思路：

如此可见，他们相差两个阶位，所以只要，求两次导就可以了

例题2

解法一：

排除BC不要问为什么，凭直觉，然后把n = 1带进f(x)的导数函数去，得出前面系数，是为1。所以在AC只有A前面系数才为1。

解法二：

本章节的核心是什么？就是求高阶数时，需要找规律的结果，所以必须把前几个阶导求出来，看他们规律。

常见的高阶导

例子1

套公式可得

例2

解法：求导第3阶， $x^3 + 5x^2$ 就已经变为0了，剩下的那个，根据上面的公式可以得出最后的结果是：2^10*e^2x

例3

解题思路：我们可以看出原函数，去括号，最后的x的最高阶数也是4次。而要求最后求导也是4阶。所以呢，只有一个数 $x^4$ 是有效的，其他都会变为0.所以最终结果为：4！

11. 求切线方程和法线方程（这小节过于简单，不展开讲）

应用的是点斜式（y - y0） = k(x - x0)

例子

解法：求法线，需得切线，求切线，因为这是一个参数方程，所以有 $\frac{dy}{dx} = \frac{f’(y) }{f’(x) }$ .最后化简方发现，分子为0，如此可以可知切线就是一条水平的直线，那么法线就是一条竖直的直线。所以在曲线中 $x = \cos t$ 中有法线 $t = \frac{π}{4}$ 的值，所以最后可以求出x出来。