向量
在坐标系上,一个顶点就是X,Y,Z坐标空间的一个位置。
由一个单独的XYZ定义的这样就是向量。
向量定义图
单位向量
向量⻓度为1. 我们称为⻓度为1的向量
向量⻓度(向量的模)计算公式
如果⼀个向量不是单位向量, ⽽我们把它缩放到1. 这个过程叫做标准化. 将⼀个向量进⾏标准化就是将它的缩为1; 也叫做单位化向量;
在OpenGL如何定义一个向量 ---------- math3d 库
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match3d库有两个数据类型，能够表示一个三维或四维向量。
M3DVector3f可以表示一个三维向量(x,y,z)。M3DVector4f可以表示一个四维向量(x,y,z,w)，w是缩放因子。x、y、z通过除以w来进行缩放。
typedef float M3DVector3f[3];
typedef float M3DVector4f[4];
//声明⼀个三分量向量操作:
M3DVector3f vVector;
//类似，声明⼀个四分量的操作:
M3DVector4f vVectro= {0.0f,0.0f,1.0f,1.0f};
//声明一个三分量顶点数组，例如⽣成⼀个三⻆形
M3DVector3f vVector[] = {
0.5, 0.0, 0.0,
0.0, 0.5, 0.0,
0.0, 0.0, 0.0,
};
向量点乘
1.点乘只能发生在两个向量之间，且点乘时，两向量必须是单位向量，如果不是，需要将向量进行单位化后，再点乘
2.点乘得到的是两个向量之间的夹角的余弦值 即 cosα，范围在[-1, 1]之间，是一个标量
向量点乘
math3d 库中提供了关于点乘的API
//1.m3dDotProduct3 函数获得2个向量之间的点乘结果; ----- 获得2个向量量之间的点乘结果，即余弦值 = cosα
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
//2.m3dGetAngleBetweenVector3 即可获取2个向量之间夹⻆的弧度值; ------ 获取2个向量之间夹⻆的弧度值，即α = arccos(余弦值)
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
向量叉乘
1.两个向量之间叉乘得到结果同样是一个向量，且该向量垂直于两个向量所构成的平面
2.由于结果与两向量构成平面垂直，也可以理解为得到的结果是该平面的法线
向量叉乘
math3d 库中提供了关于叉乘的API
//m3dCrossProduct3 函数获得2个向量之间的叉乘结果得到⼀个新的向量 ------- 获得2个向量之间的叉乘结果得到一个新的向量
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f u ,const M3DVector3f v);
矩阵
1.矩阵只有⼀⾏或者⼀列都是合理的. 只有⼀⾏或者⼀列数字可以称为向量. 也可以称为矩阵;
2.OpenGL的约定里，更多倾向使⽤一维数组，这样做的原因是 OpenGL 使用的是Column-Major(以列为主) 矩阵排序的约定。
typedef float M3DMatrix33f[9];// 3x3矩阵
typedef float M3DMatrix44f[16];// 4x4矩阵
4*4矩阵
这 16 个值表示空间中⼀个特定的位置，这4列中，每⼀列都是有4个元素组成的向量。如果将⼀个对象所有的顶点向量乘以这个矩阵，就能让整个对象变换到空间中给定的位置和方向。
单元矩阵初始化方式
// 方式一：
GLFoat m[] = {
1, 0, 0, 0, // X 列
0, 1, 0, 0, // Y 列
0, 0, 1, 0, // Z 列
0, 0, 0, 1, // Translation
}
// 方式二：
M3DMatrix44f m = {
1, 0, 0, 0, // X 列
0, 1, 0, 0, // Y 列
0, 0, 1, 0, // Z 列
0, 0, 0, 1, // Translation
}
// 方式三：
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);
将一个向量 乘以 单元矩阵 等于向量本身。
矩阵的点乘
1.矩阵可以进行点乘的前提：两个矩阵的行列数相等
2.矩阵A · 矩阵B = 矩阵C
规则： 矩阵A的第一个元素与矩阵B的第一个元素的乘积 = 矩阵C的第一个元素
矩阵点乘
矩阵的叉乘
1.矩阵可以进行叉乘的前提：第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数
2.矩阵A X 矩阵B = 矩阵C
规则：矩阵A第一行与矩阵B第一列对应元素乘积的综合 = 矩阵C的第一个元素
矩阵的叉乘
理解OpenGL中的矩阵相乘
1.数学中为了方便计算，都是以行矩阵为标准，从左到右的顺序进行计算，所以在数学中，顶点将以行向量的方式表示
2.从数学角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是行向量，要满足矩阵相乘的规定条件（即 叉乘的前提），必须将mvp矩阵放在右边，属于右乘
顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro
顶点向量 = 顶点 * 模型矩阵 * 观察矩阵 * 投影矩阵
顶点 乘以 模型矩阵 乘以 观察矩阵 乘以 投影矩阵
理解OpenGL中的矩阵角度
1.OpenGL中的矩阵规定是以列为主，所以顶点以列向量的方式表示
2.从OpenGL角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是列向量，如果项进行矩阵规则，就需要满足矩阵相乘的条件，需要将mvp矩阵的顺序颠倒为pvm，且放在列向量的左边，属于左乘
变换顶点向量 = M_pro * M_view * M_model * V_local
变换顶点向量 = 投影矩阵 ✖ 视图变换矩阵 ✖ 模型矩阵 ✖ 顶点
投影矩阵 ✖ 视图变换矩阵 ✖ 模型矩阵 ✖ 顶点
OpenGL矩阵堆栈中矩阵相乘源码分析
从OpenGL矩阵堆栈中矩阵相乘源码分析，主要有以下3步
1.从栈顶获取栈顶矩阵，复制到mTemp
2.将栈顶矩阵 mTemp 左乘 mMatrix
3.将结果放回栈顶，覆盖栈顶矩阵
矩阵相乘源码
而我们在观察者不动、物体动的观察方式中，根据之前Demo代码可知
1.
ChangeSize函数中，得到投影矩阵，将投影矩阵压入投影矩阵堆栈栈顶，并与模型视图矩阵栈顶相乘，将结果覆盖栈顶，即 投影矩阵 * 单元矩阵 = 投影矩阵
2.RenderScene函数中，将栈顶矩阵copy一份，然后将观察者矩阵与模型视图矩阵堆栈栈顶相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即投影矩阵 * 视图矩阵 = 视图投影矩阵
得到模型矩阵，将模型矩阵与栈顶矩阵相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即 栈顶 = 模型视图投影矩阵
上述代码，矩阵堆栈的变化过程如下
堆栈变化过程
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