OpenGL 向量/矩阵

向量

什么是向量

  在3D笛卡坐标系中，基本上，一个顶点就是XYZ坐标空间上的一个位置。而在空间中给定的一个位置，恰恰是由一个单独的XYZ定义的。而这样的XYZ就是向量。长度为1的的向量为单位向量。向量长度计算公式为，

  如果一个向量不是单位向量，而我们把它缩放到1，这个过程叫做标准化，将一个向量进行标准化就是将它缩为1；也叫做单位化向量。使用一个非零向量除以它的模（向量的长度），就可以得到方向相同的单位向量。

  如下图所示，点A的坐标为 ，这个向量A在X轴上为+1，其它两个方向为0，向量长度为1，则点A为单位向量。

坐标系.jpg

向量的定义

  在math3d库中，有两个数据类型，能够表示一个三维或四维向量。M3DVector3f表示一个三维向量，M3DVector4f表示一个四维向量。

  OpenGL 中这两个数据类型本质上是一个一维浮点型数组，代码示例如下：

typedef float M3DVector3f[3];
typedef float M3DVector4f[4];
//声明一个三维变量
M3DVector3f vVector;
//初始化一个四维变量
M3DVector4f vVertex = {0,0,1,1};
//声明一个三分量顶点数组
M3DVector3f vVerts[] = {
              -0.5f,0.0f,0.0f,
              0.5f,0.0f,0.0f,
              0.0f,0.5f,0.0f
}

点乘

  点乘只能发生在两个向量之间。两个三维单位向量之间进行点乘将得到一个标量（数值），它表示两个向量之间的夹角（余弦值）。math3d库中关于点乘的函数：

//获得两个向量之间点乘的结果
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
//获得两个向量之间夹角的弧度值
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);

叉乘

  两个向量（不必为单位向量）之间叉乘所得的结果是另外一个向量，这个新向量与原来两个向量定义的平面垂直。math3d库中关于叉乘的函数：

void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const);

矩阵

  在数学上，矩阵只不过是一组排列在统一的行和列中的数字。用程序设计语言的语言来说就是一个二维数组。如果在空间中有一个点，由x,y和z坐标定义，将它围绕任意点沿任意方向旋转一定角度后，我们需要这个点现在的位置，就要用到矩阵。

  矩阵之间可以进行乘法和加法，也能与向量或者标量相乘。用一个向量乘以一个矩阵（一次变化）结果得到一个新的变化点（向量）。math3d库中关于矩阵的定义：

//3维矩阵
typedef float M3DMatrix33f[9];
//4维矩阵
typedef float M3DMatrix44f[16];

矩阵的构造

  在其他编程标准中，许多矩阵库定义一个矩阵时，使用二维数组；在OpenGL里，更多倾向于使用一维数组；这样做的原因是OpenGL使用的是Column-Major（以列为主）矩阵排序的约定。

  在4*4矩阵中，这16个值表示了空间中的一个特点位置，以及相对于视觉坐标系的3个轴的方向。这4列中每一列都代表一个由4个元素组成的向量。前3列的前3个元素只是方向向量，他们表示空间中x轴、y轴和z轴上的方向，第4列包含变换后的坐标系原点的x、y和z值。

  特别地，矩阵的最后一行都为0，只有最后一个元素为1。

4*4矩阵.png

  如果将一个对象所有的顶点向量乘以这个矩阵，就能让整个对象变换到空间中给定的位置和方向。

单元矩阵

  将一个向量乘以一个单位矩阵，就等与用这个向量乘以1，不会发生任何改变。

• 初始化方式①

  GLFloat m[] = {
      1,0,0,0,
      0,1,0,0,
      0,0,1,0,
      0,0,0,1
  }
  

• 初始化方式②

  M3DMatrix44f m = {
      1,0,0,0
      0,1,0,0,
      0,0,1,0,
      0,0,0,1
  }
  

• 初始化方式③

  void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f)
  

理解变换

变化	解释
视图变换	指定观察者位置
模型变换	在场景中移动物体
模型视图	描述视图/模型变化的二元性
投影	改变视景体大小和它的投影方式
视口	伪变化，对窗口上最终输出进行缩放

• 视图变换

  视图变换将观察者放在希望的任何位置，并允许在任何方向上观察场景，确定视图变换就像在场景中放置照相机并让它指向某个方向。

• 模型变换

  模型变化用于操纵模型和其中的特定对象。这些变换将对象移动到需要的位置，然后在对它们进行旋转和缩放。

  • 平移

    void m3dTranslationMatrix44(M3DMatrix44f m ,float x,float y,float z)
    

  • 旋转

    void m3dRotationMatrix44(M3DMatrix44f m ,float angle,float x,float y,float z)
    

  • 缩放

    void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m ,float xScale,float yScale,float zScale
    

  • 综合变换

     void m3dMatrixMultiply44(M3DMatrix44f product,const M3DMatrix44f a,const M3DMatrix44f b)
    

几何图形

创建一个球体

  /*
      gltMakeSphere(GLTriangleBatch& sphereBatch, GLfloat fRadius, GLint iSlices, GLint iStacks);
     参数1：sphereBatch，三角形批次类对象
     参数2：fRadius，球体半径
     参数3：iSlices，从球体底部堆叠到顶部的三角形带的数量；其实球体是一圈一圈三角形带组成
     参数4：iStacks，围绕球体一圈排列的三角形对数

     建议：一个对称性较好的球体的片段数量是堆叠数量的2倍，就是iStacks = 2 * iSlices;
     绘制球体都是围绕Z轴，这样+z就是球体的顶点，-z就是球体的底部。
     */
    gltMakeSphere(sphereBatch, 3.0, 10, 20);

创建一个环面

// 环面
    /*
     gltMakeTorus(GLTriangleBatch& torusBatch, GLfloat majorRadius, GLfloat minorRadius, GLint numMajor, GLint numMinor);
     参数1：torusBatch，三角形批次类对象
     参数2：majorRadius,甜甜圈中心到外边缘的半径
     参数3：minorRadius,甜甜圈中心到内边缘的半径
     参数4：numMajor,沿着主半径的三角形数量
     参数5：numMinor,沿着内部较小半径的三角形数量
     */
    gltMakeTorus(torusBatch, 3.0f, 0.75f, 15, 15);

创建一个圆锥

/*
     void gltMakeCylinder(GLTriangleBatch& cylinderBatch, GLfloat baseRadius, GLfloat topRadius, GLfloat fLength, GLint numSlices, GLint numStacks);
     参数1：cylinderBatch，三角形批次类对象
     参数2：baseRadius,底部半径
     参数3：topRadius,头部半径
     参数4：fLength,圆形长度
     参数5：numSlices,围绕Z轴的三角形对的数量
     参数6：numStacks,圆柱底部堆叠到顶部圆环的三角形数量
     */
    gltMakeCylinder(cylinderBatch, 2.0f, 2.0f, 3.0f, 15, 2);

创建一个锥

 /*
     void gltMakeCylinder(GLTriangleBatch& cylinderBatch, GLfloat baseRadius, GLfloat topRadius, GLfloat fLength, GLint numSlices, GLint numStacks);
     参数1：cylinderBatch，三角形批次类对象
     参数2：baseRadius,底部半径
     参数3：topRadius,头部半径
     参数4：fLength,圆形长度
     参数5：numSlices,围绕Z轴的三角形对的数量
     参数6：numStacks,圆柱底部堆叠到顶部圆环的三角形数量
     */
    //圆柱体，从0开始向Z轴正方向延伸。
    //圆锥体，是一端的半径为0，另一端半径可指定。
    gltMakeCylinder(coneBatch, 2.0f, 0.0f, 3.0f, 13, 2);

创建一个磁盘

 /*
    void gltMakeDisk(GLTriangleBatch& diskBatch, GLfloat innerRadius, GLfloat outerRadius, GLint nSlices, GLint nStacks);
     参数1:diskBatch，三角形批次类对象
     参数2:innerRadius,内圆半径
     参数3:outerRadius,外圆半径
     参数4:nSlices,圆盘围绕Z轴的三角形对的数量
     参数5:nStacks,圆盘外网到内围的三角形数量
     */
    gltMakeDisk(diskBatch, 1.5f, 3.0f, 13, 3);

矩阵堆栈

在GLTools库中有一个矩阵堆栈来帮助完成矩阵变换，这个类称为GLMatrixStack。

堆栈操作

• 初始化

  这个类的构造函数允许指定堆栈的最大深度，默认的堆栈深度为64。在初始化堆栈时，已经包含了单位矩阵。

  GLMatrixStack::GLMatrixStack(int iStackDepth = 64);
  

• 栈顶载入矩阵

  • 单位矩阵

    void GLMatrixStack::LoadIdentity(void);
    

  • 任一矩阵

    void GLMatrixStack::LoadMatrix(const M3DMatrix44f m);
    

• 矩阵栈顶元素与新元素相乘后的结果存储在堆栈顶部

  void GLMatrixStack::MultMatrix(const M3DMatrix44f);
  

• 获取栈顶元素

  • 获取值

    const M3DMatrix44f & GLMatrixStaxk::GetMatrix(void);
    

  • 获取副本

    void  GLMatrixStaxk::GetMatrix(M3DMatrix44f mMatrix);
    

• 压栈

  • 栈顶矩阵Copy到栈顶

    void GLMatrixStack::PushMatrix(void);
    

  • 将M3DMatrix44f 矩阵对象压入当前矩阵堆栈

    void PushMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix);
    

  • 将GLFrame对象压入堆栈

    void PushMatrix(GLFrame &frame);
    

• 出栈

  void GLMatrixStack::PopMatrix(void);