【潇教学】一道题引发的思考：半角模型可以吗？

【和学生一起写数学日记】

今天遇见了这样的一道题：

1. 综合与实践【数学思考】

【问题情境】

数学综合与实践课上，同学们以“角的旋转”为主题开展探究活动．如图，ABC和ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点E在AB上，∠PDQ＝45°，将∠PDQ绕点D旋转，

DP交射线AC于点F，DQ交射线AB于点G.

(1)如图①，当∠PDQ在起始位置，点F与点A重合时，DF与DG的数量关系式为_____________；

(2)当∠PDQ旋转至如图②位置时，(1)的结论是否仍然成立？请说明理由;

【拓展探究】

(3)当AG＝3EG时，直接写出tan∠ADF的值．

受亓振海老师展示课《图形的旋转》的启发，我引导学生根据题目，利用尺规完成作图。

这道题涉及到的尺规作图有：

1.过直线（线段）上一点作已知直线（线段）的垂线；

2.作一条线段等于已知线段；

由此构造等腰直角三角形。

3.作一个角等于已知角；

4.作直线的垂线。

就本题而言，尺规作图的方法远远不止这些，例如，我们还可以通过作DA⊥AC，构造直角，从而得到∠DAB=45°等。

几何画板作图

在探究（2）时，看到45°角和90°角，我和学生首先联想到的是半角模型，于是和学生一起将DAF绕着点D顺时针旋转90°得到DEF’，证出DGF'全等于DGF，要想得出结论需要证明F'、G、F共线，得出DF'F是等腰直角三角形，进而得出结论，或者证出∠DFG（∠DF'G）为45°。至此，卡住。w

几何画板作图 几何画板作图

于是决定换一种思路，在这道题里∠DAG是45°，于是采用“特殊角保留法”，过点D作DH⊥AE于点H，通过证DGH相似于DFA，得出结论。

几何画板作图

特殊角保留法相对来说是很简单的。

引导学生进一步思考：半角模型到底可不可以得出结论？到底能否证出F'、G、F共线，或者证出∠DFG（∠DF'G）为45°，能证出，如何证？