在坐标系中旋转一个点

假如在一个平面直角坐标系中存在一个坐标 p1，要求指定另一个坐标 p2，求 p1 绕 p2 旋转 β 弧度之后的新坐标。

这是个数学题，实际的 iOS 开发中也可能偶遇此类问题，一个典型的例子是：绘制表盘上的时间数字。已知表盘刻度 12 的坐标点和表盘中心点，需要计算 1～11 刻度分别对应的坐标。当然，每个刻度之间旋转角度为 30°. 你可能会想，这是个很简单的问题，我只要对初始点每次旋转一个累加的角度不就可以了算出来了吗？是的，但是我更希望找出这类问题更通用的解法：对任意点，指定任意参考点，旋转任意角度。

图文无关

已知条件完全满足圆的一般方程。 这个问题困扰了我一段时间，后来发现是我钻进圆方程的牛角尖了，这道题用三角函数即可完美解决。

根据上面草图所示，只需要求出 p 点相对 y 轴的角度即可。具体演算过程如下图所示。

注意：这里以 p2 为原点画圆，本文的讨论都基于这个相对的坐标参考系

但是，这只是 p1 在坐标系的第一象限中的情况，如果 p1 的 y 轴值小于 p2，即 p1 位于第四象限，求得的 α 需要再加上或者减去相应的角度。同理，p1 相对于 p2 出现在这个坐标体系中不同的位置，α 需要分别作额外处理。

在 iOS 平台，UIKit 的坐标体系和 macOS 中以及数学概念中的坐标有些不同，它是 y 轴向下为正的，此时 ψ = α - β, 在计算 p 的坐标时需要将指定的旋转角度更改为它的相反数，否则你会发现求得的坐标点和你期望的位置正好相反（原本因该是顺时针旋转，结果是逆时针）。

根据上述原理分析，可以给用 Swift 实现如下算法：

extension CGPoint {
    
    func rotate(byAngle: CGFloat, baseOn point: CGPoint) -> CGPoint {
        
        let Δx = x - point.x
        let Δy = y - point.y
        let π = CGFloat.pi
        
        let r = sqrt(pow(Δx, 2) + pow(Δy, 2))
        var α = asin(Δx / r)
        
        if α >= 0 {
            if Δy < 0 {
                α = π - α
            }
        } else {
            α.negate()
            if Δy < 0 {
                α = π + α
            } else {
                α = 2 * π - α
            }
        }

        #if os(macOS)
            let px = r * sin(α + byAngle) + point.x
            let py = r * cos(α + byAngle) + point.y
        #else
            let px = r * sin(α - byAngle) + point.x
            let py = r * cos(α - byAngle) + point.y
        #endif
        
        return CGPoint(x: px, y: py)
    }
}