每一个阶段人总会遇见一些难以解决的问题，这些问题无法依靠现有的工具解决，于是我们发明了新的工具，轻而易举的解决。新的工具扩大人们对数学的认知问题，也就催生出新的概念来描述新的数学规律。当概念扩大之后又会有新的难题，于是….(️循环往复)，有位群友形容此为螺旋上升发展，贴切。
数学的这种发展模式举个很好的例子就是 数和方程的发展：
鸡兔同笼问题（已知鸡兔总头数和总脚数），小学未学方程，老师就会教：假设全是鸡头，脚数凑不够，那便用一只鸡替换一只兔，就会多两只脚，看脚数差多少，除个2，那可不就是兔的数。
插：你看这种思维很好，它其实就满足了头数和脚数两个限制条件。但并不是所有人都能理解上述思维，而且它不具有普适性去解一些更复杂的像不同价格的鸡蛋已知总价钱和总个数要你求不同品种鸡蛋的个数。通常对于那些想要参加竞赛的同学老师会再给一个新的技巧，但是用有限的时间去学无限的技巧显然并不是一件聪明划算的事。
但：当我们用方程去把它翻译成数学语言的时候，问题就显然简单了许多。方程变成了一项工具。（此处列方程就是数学思维里的逆向运行，你回想一下你解方程的时候是不是有假设的未知数带入满足的条件转而去求这些个未知数），它可太普适方便了。
再回想我在级数那一块用的求级数的强有力的两个数学工具以及求向量场化简的爱因斯坦指标求和（如有必要下次我会分享此方法），无一不在证实这件事情，掌握好工具才是学好数学的王道，而不是做更多的题。
吴军老师曾问过美国华裔物理学家，为什么的老一辈的理论物理学在他们50岁以上就很难再发表具有轰动性的论文，他回答说他们的数学工具不够先进，他们读研时相比于新一代科学家有很多不足之处。
一元二次方程的发展（比如求面积问题时），通解问题使人对数的认识提高到无理数层次。一元三次方程的推导过程中引入了虚数（虚数在解三次方程中被创造出来，然后又通过正负相抵消，可以得到原来就存在的实数答案，类似于几何中的辅助线，很多数学工具都如此，由逻辑虚构出来），所有的一元方程不仅变得有解，而且N元方程对应N个解。
芝诺悖论的例子：
大家可能听说过芝诺的四个悖论，前两个是一类问题，本质即无限的分割与趋于0的速度快慢问题。（前者是线性叠加，后者是指数衰减，所以加和后它是个有限数）阿克琉斯追不上乌龟是个 伪命题，因为他混淆了概念（有限和无限）。我们用级数可以对它形象的解读，即它是一个收敛的等比级数。而他的第四个悖论：相对空间悖论，在引入无穷小量这个基本概念之后，就很容易破解了。
无穷小：1.它不是0（因此1倍变化量不等于2倍变化量）
2.它的绝对值小于任何一个你能给定的数（从趋势的角度出发）
此外极限语言（定量和逆向思维）的严格定义重新审视了无穷小的世界，无穷小其实是一种特殊的极限。对于任意给定的数1，我们总能找到一个N，使n>N后，就有一个数<数1，我们就说这个数序列趋于0，或者说是无穷小。
插入：无穷大：动态的变化趋势，无限增加的趋势，也有快慢之分，用量级来描述，比如x 和 x^2显然就是两个不同量级。具体可看我的导图里的无穷之比较。
他的第三个悖论：
飞箭不动悖论：射出去的箭是静止的。解决：引入瞬时速度，即导数这个概念的提出。他的错误在于：当S T 的变化量都趋于0时，它们都比值也就是速度并不为0.
导数概念的提出使得人们能够从对变化本身的观察上升为对变化速度的观察，这是人类的认知的新高度。
一件事物有阴阳两面，阴阳永恒变化发展与数学和人类发展是吻合的，在生活和学习中我们应该保有一种不刻意去压制住某方的观点，过犹不及，以一种开放爽朗的眼光看待出现的新兴事物。福与祸相依，塞翁失马，焉知非福？毕达哥拉斯如果能从棺材中出来，应该会为他否认无理数存在而做的错事忏悔不已。
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