矩阵的特征值（一）基本性质

作者: Paycation | 来源:发表于2019-05-02 16:12 被阅读0次

矩阵的特征值（一）基本性质
2019-05-10
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定义

对于方阵 $A$ 构成的方程 $Ax=\lambda x$ 中，非平凡解 $x$ 被称为 $A$ 的特征向量， $\lambda$ 被称为 $A$ 的特征值。其含义在于向量经过矩阵描述的线性变换后，仍然和自身共线。
比较特殊的是零向量，因为不管矩阵如何变换，零向量始终不变，也就是始终和自身共线，因此在特征向量的定义里，特意排除掉了零向量（ $x$ 的平凡解）。但是特征值可以为 0。

示例

我们有这样两个矩阵：
$A = \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 3\end{bmatrix}$
我们先求A的特征值和特征向量：
$\begin{aligned} Ax&=\lambda x\\ Ax&=\lambda I x\\ (A-\lambda I)x&= 0 \end{aligned}$
要求得特征值和特征向量，而 $x\neq 0$ ，那么也就是要上述方程有非平凡解，因此 $A-\lambda I$ 必须是一个奇异矩阵，其行列式必为0，于是有：
$\begin{vmatrix}-\lambda & 1\\ 1 & -\lambda \end{vmatrix} = 0$
根据二阶行列式的公式： $\lambda ^2 - 1=0$ ，解得 $\lambda=\pm 1$ 。
进一步计算特征向量，由于特征向量都在一条线上，因此有无数个，我们只随便取一个，比如令其为 $(1, a)$ ：
$\begin{cases} \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}x=x\\ \begin{bmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{bmatrix}x=-x\\ \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \begin{bmatrix}a\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\a \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}a\\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1\\ -a \end{bmatrix} \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} x_1=\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix} \\ x_2=\begin{bmatrix}1\\-1 \end{bmatrix} \end{cases}$
同样的方法对 $B$ 求解，观察得：
$\begin{aligned} (B-\lambda I)x=0 \Rightarrow (A+3I-\lambda I)x=0\\ (A-(\lambda-3)I)x=0 \end{aligned}$
根据之前的解： $\lambda-3=\pm 1$ ，因此 $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 4$ 。
可以看到有这样的规律，当矩阵 $A$ 与单位矩阵相加得到新的矩阵时 $A+kI$ ，其特征值也相应增加 $k$ 。

假如我们没能一眼看出这层关系，那么我们用行列式来计算。
$\begin{aligned} (\begin{bmatrix}3 & 1\\1 & 3\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\lambda & 0\\0 & \lambda\end{bmatrix})x=0 \\ \begin{vmatrix}3-\lambda & 1\\1 & 3-\lambda\end{vmatrix}=0 \\ (3-\lambda)^2-1=0 \end{aligned}$
对最后一步展开得 $\lambda^2-6\lambda+8$ 。神奇的是B的行列式和迹是： $det(B)=8$ ， $tr(B)=6$ 。迹就是矩阵主对角线（左上到右下）之和。还存在这样的关系： $tr(B)=\lambda_1+\lambda_2$ 。

进一步计算特征向量：
$\begin{cases} x_1=\begin{bmatrix}1\\1 \end{bmatrix} \\ x_2=\begin{bmatrix}1\\-1 \end{bmatrix} \end{cases}$

下面证明上述“神奇”的关系，已知 $C=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ ：
$\begin{aligned} \begin{vmatrix}a-\lambda&b\\c&d-\lambda \end{vmatrix} =0\\ (a-\lambda)(d-\lambda)-bc=0\\ \lambda^2-(a+d) \lambda+ad-bc=0 \end{aligned}$
若 $C$ 要能有特征值，那上述二次方程必须有解。根据高中知识，我们知道二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两个解有这样的关系 $x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$ ，因此，特征值的和恰好等于迹。

结论

$A+kI=B$ ，则 $A,B$ 特征向量不变，而 $B$ 的特征值分别增加 $k$ 。
矩阵的迹的和等于特征值的和。
有的矩阵是没有特征值的，比如旋转矩阵，它把整个向量空间进行旋转，所有向量的方向都改变了，也就没有特征向量和特征值。比如你可以算一下 $\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$ 的特征值。会得到一个 $\lambda^2+1=0$ 的无实数解的方程。