三次样条插值

作者: carry_xz | 来源:发表于2019-05-24 14:50 被阅读0次

三次样条插值

设S(x)满足样本点要求，则只需在每个子区间[ $x_j,x_{j+1}$ ]上确定1个三次多项式，假设为：
$S_j(x)=a_jx^3+b_jx^2+c_jx+d$
假设有n个点，需要n-1条线描述，每条线四个未知数，则未知数个数为4(n-1)。显然中间（n-2）个点具有4个约束条件：
$S(x_j) = f(x_j)$
$S'(x_j+0) = f'(x_j-0)$
$S''(x_j+0) = f''(x_j-0)$
$S'''(x_j+0) = f'''(x_j-0)$
两端端点存在约束S( $x_i$ ) = f( $x_i$ )，则约束方程有4(n-2)+2=4（n-1）-2，所以，总的未知数个数比方程个数多两个。所以需要额外的两个约束，于是就有了三种边界条件的插值算法。

第 1 类边界条件：给定端点处的一阶导数值 $S'(x_1)＝y_1'，S'(x_n)＝y_n'$
第 2 类边界条件：给定端点处的二阶导数值
$S'' (x_1)＝y_1''，S'' (x_n)＝y_n''$
第 3 类边界条件是周期性条件，如果y＝f(x)是以[xj,xj+1]为周期的函数，于是S(x) 在端点处满足条件
$S'(x_1＋0)＝S'(x_n-0)，S"(x＋0)＝S"(x_n-0)$

推导过程

S(x) 在 [ $x_j,x_{j+1}$ ]（j=1,2,⋯,n-1）上是三次多项式，于是S"(x)在[ $x_j,x_{j+1}$ ]上是一次多项式，假设S"(x) 在[ $x_j,x_{j+1}$ ]（j=1,2,⋯,n-1）两端点上的值已知，设

$S''(x) = \frac {x_{j+1}-x}{h_j}M_j+\frac {x-x_j}{h_j}M_{j+1}$

其中 $h_j = x_{j+1}- x_j$
对 $S''(x)$ 进行两次积分可得：

$S(x) = \frac{(x_{j+1}-x)^3}{6h_j}M_j+\frac{(x-x_j)^3}{6h_j}M_{j+1}+A_jx+B_j$

以上是在 $[x_j,x_{j+1}]$ 上求得的 $S(x)$ 同理可求 $[x_{j-1},x_j]上的S(x)$ ，将 $x_j$ 同时代入两个函数联立方程，可以求得 $A_j、B_j$

$A_j = \frac{y_{j+1}-y_j}{h_j}-\frac{M_{j+1}-M_j}{6}h_j$

$B_j = y_{j+1}-\frac{M_{j+1}}{6}h_j^2-[\frac{y_{j+1}-y_j}{h_j}-\frac{M_{j+1}-M_j}{6}h_j]x_{j+1}$
将 $A_j、B_j代入S(x)可得$ ：
$S(x) = -\frac{(x_{j+1}-x)^3}{6h_j}M_j+\frac{(x-x_{j})^3}{6h_j}M_{j+1}+[y_j-\frac{M_{j}}{6}h_j^2]\frac{x_{j+1}-x}{h_j}+[y_{j+1}-\frac{M_{j+1}}{6}h_j^2]\frac{x-x_{j}}{h_j}$
求导后得：
$S'(x) = -\frac{(x_{j+1}-x)^2}{2h_j}M_j+\frac{(x-x_{j})^2}{2h_j}M_{j+1}+\frac{y_{j+1}-y_j}{h_j}-\frac{M_{j+1}-M_j}{6}h_j$
同理分别写出 $[x_{j-1},x_j],[x_j,x_{j+1}]上的S'(x)$ ,联立等式,简化后可得：