OpenGL-向量与矩阵

向量与矩阵的应用场景和相关方法

向量

• 向量：(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量)，指具有大小（magnitude）和方向的量。在3D笛卡尔坐标系中，一个顶点就是一个(x,y,z)坐标；在空间中的一个位置由一个单独的想x,y,z定义，这样的xyz就是一个向量；
  向量图.png
  截屏2020-07-16下午11.54.46.png
  在x轴上的向量(1,0,0),向量长度为1,我们把长度为1的向量成为单位向量;
• math3d 库: 有2个数据类型，能够表示一个三维或者'四维'向量。
  M3DVector3f:可以表示一个三维向量(x,y,z)
  M3DVector4f:可以表示一个‘四维向量’(x,y,z,w), 其中w是缩放因子，通常为 1.0，在OpenGL 中 当w 不为1时，我们会通过乘以w的倒数，来转换为标准坐标向量；

//三维向量量/四维向量量的声明
typedef float M3DVetor3f[3];
typedef float M3DVetor4f[4];
//声明一个三维向量 M3DVector3f:类型 vVector:变量名 
M3DVector3f vVector;
//声明一个四维向量量并初始化一个四维向量
M3DVector4f vVertex = {0,0,1,1};
//声明一个三分量顶点数组
M3DVector3f vVerts[] = {
  -0.5f,0.0f,0.0f,
  0.5f,0.0f,0.0f,
  0.0f,0.5f,0.0f
};

实质上就是一个存放float类型数据的一维数组。

• 向量中的点乘：单位向量1 * 单位向量2 = 值
  这里需要注意的是单位向量；这里的值是一个[-1，1]范围的值，实际就是向量1和向量2夹角的cos值(余弦值)；
  单位化向量：(x/|xyz|, y/|xyz|, z/|xyz|);
  点乘运算结果
  math3d库中提供的点乘API:

//1.m3dDotProduct3 函数获得2个向量之间的点乘结果;
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
//2.m3dGetAngleBetweenVector3 即可获取2个向量之间夹⻆角的弧度值; 
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);

• 向量中的叉乘：向量1 * 向量2 = 向量3
  叉乘中的向量不一定是单位向量，得到的向量3同向量1，2的平面垂直；
  向量叉乘
  math3d 库中提供了了关于叉乘的API

//1.m3dCrossProduct3 函数获得2个向量之间的叉乘结果得到一个新的向量
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f  u ,const M3DVector3f v);

矩阵

• 矩阵：是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。我们可以通过矩阵来对一组顶点数据进行批量变换运算。矩阵只有1行或者1列是合理的，这种矩阵也可以成为向量。

typedef float M3DMatrix33f[9];  //三维矩阵
typedef float M3DMatrix44f[16];  //四维矩阵

注意：OpenGL中使用一维数组来描述多维矩阵。

• 单元矩阵：

//单元矩阵初始化方式1
GLFloat m[] = {
  1,0,0,0,
  0,1,0,0,
  0,0,1,0,
  0,0,0,1
}
//单元矩阵初始化方式2
M3DMatrix44f  m = {
  1,0,0,0,
  0,1,0,0,
  0,0,1,0,
  0,0,0,1
}
//单元矩阵初始化⽅方式3
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);

单元矩阵 * 向量1 = 向量1 (此时的单元矩阵相当于1,1乘以任何数都为原值)；
线性代数角度：
变换后顶点向量 = v_local * M_model * M_view * M_pro;
即：变换后顶点数量 = 顶点 x 模型矩阵 x 观察矩阵 x 投影矩阵

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OpenGL角度：
变换顶点向量 = 投影矩阵 x 视图变换矩阵 x 模型矩阵 x 顶点
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• 矩阵左乘

inline void MutMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix) {
    M3DMatrix44f mTemp;
    m3dCopyMatrix44(mTemp, pStack[stackPointer]);
    m3dMatrixMultiply44(pStack[stackPointer], mTemp, mMatrix);
}

大致流程：取出栈顶矩阵，然后跟传入的矩阵相乘，并将结果再放入栈顶；
顶点着色器：

attribute vec4 position;
attribute vec4 positionColor;
uniform mat4 projectionMatrix;
uniform mat4 modelViewMatrix;
varying lowp vec4 varyColor;
void main() {
  varyColor = positionColor;
  vec4 vPos;
  vPos = projectionMatrix * modelViewMatrix *position;
  gl_position = vPos;
}

行矩阵和列矩阵

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OpenGL中的变换

变换	解释
视图变换	指定观察者位置
模型变换	在场景中移动的物体
模型视图	描述视图/模型变换的二元性
投影	改变视景体大小和设置投影方式
视口	输出窗口大小

模型变换中的平移/旋转/缩放

void m3dTranslationMatrix44(M3DMatrix44f m, floata x, float y, float z);
m3dRotationMatrix44(m3dDegToRad(45.0), floata x, float y, float z);
void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, floata xScale, float yScale, float zScale);
void m3dMatrixMultiply44(M3DMatrix44f product, const M3DMatrix44f a, const M3DMatrix44f b);

矩阵堆栈

• 常用API

//类型
GLMatrixStack::GLMatrixStack(int iStackDepth = 64);
//在堆栈顶部载⼊入⼀一个单元矩阵
void GLMatrixStack::LoadIdentity(void);
//在堆栈顶部载⼊入任何矩阵 //参数:4*4矩阵
void GLMatrixStack::LoadMatrix(const M3DMatrix44f m);
//矩阵乘以矩阵堆栈顶部矩阵，相乘结果存储到堆栈的顶部
void GLMatrixStack::MultMatrix(const M3DMatrix44f);
//获取矩阵堆栈顶部的值 GetMatrix 函数 //为了了适应GLShaderMananger的使⽤用，或者获取顶部矩阵的副本
const M3DMatrix44f & GLMatrixStack::GetMatrix(void);
void GLMatrixStack::GetMatrix(M3DMatrix44f mMatrix);

• 压栈与出栈

//将当前矩阵压⼊入堆栈(栈顶矩阵copy ⼀一份到栈顶) void GLMatrixStack::PushMatrix(void);
//将M3DMatrix44f 矩阵对象压⼊入当前矩阵堆栈
void PushMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix);
//将GLFame 对象压⼊入矩阵对象
void PushMatrix(GLFame &frame);
//出栈(出栈指的是移除顶部的矩阵对象) 
void GLMatrixStack::PopMatrix(void);

• 仿射变换

//Rotate 函数angle参数是传递的度数，⽽而不不是弧度
void MatrixStack::Rotate(GLfloat angle,GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);
void MatrixStack::Translate(GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);
void MatrixStack::Scale(GLfloat x,GLfloat y,GLfloat z);

• 使用Camra和角色帧平移

class GLFrame {
   protected:
        M3DVector3f vOrigin; // Where am I? 
        M3DVector3f vForward; // Where am I going? 
        M3DVector3f vUp; // Which way is up?
}

• GLFrame

//将堆栈的顶部压⼊入任何矩阵
void GLMatrixStack::LoadMatrix(GLFrame &frame);
//矩阵乘以矩阵堆栈顶部的矩阵。相乘结果存储在堆栈的顶部 void GLMatrixStack::MultMatrix(GLFrame &frame);
//将当前的矩阵压栈
void GLMatrixStack::PushMatrix(GLFrame &frame);

• Camra管理

//GLFrame函数，这个函数⽤用来检索条件适合的观察者矩阵
void GetCameraMatrix(M3DMatrix44f m,bool bRotationOnly = flase);