利用正则化线性回归模型来了解偏差和方差的特征
实例：
首先根据数据建立线性回归模型，模型能够根据水库液位的变化来预测大坝的排水量，然后通过调整参数等方法来学习偏差和方差的一些特性。
1.概念
偏差：度量了学习算法的期望预测与真实结果的偏离程度，即刻画了学习算法本身的拟合能力；
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方差：度量了同样大小的训练集的变动所导致的学习性能的变化，即刻画了数据扰动所造成的影响（模型的稳定性）。
2.构建正则化线性模型
（1）载入数据
打开数据集 ex5data1.mat ，数据集包含了以下内容：
名称 维度 X (12, 1) y (12, 1) Xtest (21, 1) ytest (21, 1) Xval (21, 1) yval (21, 1) 其中：
X，y 是 训练集 ，用来训练模型；
Xval，yval 是 交叉验证集 ，主要用来确定模型中的超参数，如正则化参数 lambda ；
Xtest，ytest 是 测试集 ，主要评估模型的泛化能力。
（2）将 X，y 可视化
横轴表示水位的变化，纵轴表示水流量，单纯的线性回归也能计算出模型，但那样做偏差特别大，拟合程度很差，即出现 欠拟合 。
Plot X and y
参考代码：def plotXY(self, x, y):
plt.scatter(x, y, marker='x', color='r')
plt.xlabel('Change in water level(x)')
plt.ylabel('Water flowing out of the dam (y)')
plt.show()
（3）计算正则化线性回归损失函数J
损失函数公式如下，注意正则化项是 从下标1 开始计算的，lambda就是正则化系数，它控制模型复杂度的"惩罚"力度。
Cost J
（4）计算正则化线性回归梯度Gradient
损失函数J对 theta0和theta1 的偏导数定义如下，即要计算的梯度公式。
Gradient
参考代码：def linearRegCostFunction(self, theta, x, y, lamda):
m = x.shape[0]
theta = theta.reshape((x.shape[1], 1))
cost = np.sum((x.dot(theta)-y)**2)/(2*m)
regular = lamda/(2*m)*np.sum(theta[1::]**2)
J = cost + regular
return J
def linearRegGradient(self, theta, x, y, lamda):
m = y.shape[0]
theta = theta.reshape((x.shape[1], 1))
grad = np.zeros((x.shape[1], 1))
grad[0] = 1/m*(x[:, 0:1].T.dot(x.dot(theta)-y))
grad[1::] = 1/m*(x[:, 1::].T.dot(x.dot(theta)-y)) + lamda/m*theta[1::]
return grad
（5）拟合线性回归
当我们根据上述公式计算损失函数和梯度得到正确的结果后，我们利用之前提到的 scipy.optimize 中的 minimize 函数来计算最优的 theta0 和 theta1 ，计算得到 theta 的结果后，将 lambda 的值设为 0 ，因为当前模型只有 theta1 和 theta2 两个值，模型很简单，没必要设置正则化项。
将得到的 theta 值同 X 相乘，得到预测的 y_predict ，将结果进行绘制，得到拟合的结果，如下图。
可以看出得到的结果并不好，在接下来的内容里，我们逐步讨论。
Fit X and y
参考代码：def plotTrainingLine(self, x, y):
theta = self.trainLinearReg(x, y, 0)
plt.scatter(self.x, self.y, marker='+', color='r')
plt.plot(self.x, x.dot(theta), '--', linewidth=2)
plt.xlabel('Change in water level (x)')
plt.ylabel('Water flowing out of the dam (y)')
plt.legend(['Trained', 'Original'])
plt.show()
3.方差和偏差
（1）绘制学习曲线
绘制 训练集和交叉验证集的误差 与 训练样本数量 之间的学习曲线， 注意： 训练集误差和交叉验证集误差都没有计算正则化项，后面我们单独讨论正则化系数对误差造成的影响。
观察下图，随着样本数量逐渐增加，训练集和交叉验证集之间的误差仍然是较大的，这就反应了模型的 高偏差问题 ，即 欠拟合 。
因为模型太简单了，不能很好的拟合我们的数据，接下来我们将训练模型修改，建立一个8次多项式。
Learning curve for Linear Reg
参考代码：def learningCurve(self, x, y, xval, yval, lamda):
m = x.shape[0]
error_train = np.zeros((m, 1))
error_val = np.zeros((m, 1))
print("Training ExamplesTrain ErrorCross Validation Error")
for i in range(m):
theta = self.trainLinearReg(x[:1+i, :], y[:1+i], lamda)
error_train[i] = self.linearRegCostFunction(theta, x[:1+i, :], y[:1+i], 0)
error_val[i] = self.linearRegCostFunction(theta, xval, yval, 0)
print("%d%f%f"%(i, error_train[i], error_val[i]))
return [error_train, error_val]
def plotLinerRCurve(self):
error_train, error_val = self.learningCurve(self.x_plus_one, self.y, self.xval_plus_one, self.yval, 0)
plt.xlim([0, 13])
plt.ylim([0, 150])
plt.plot([i for i in range(12)], error_train, 'r')
plt.plot([i for i in range(12)], error_val, 'b')
plt.title('Learning curve for linear regression')
plt.xlabel('Number of training examples')
plt.ylabel('Error')
plt.legend(['Train', 'Cross Validation'])
plt.show()
（2）建立多项式回归模型
由于一次线性模型太简单，导致欠拟合，我们添加更多的"特征"，做一个 八 次多项式。 具体最高项应该设置成几次这个问题，也是没有定式，只能说多尝试，找到较为合适的最高次数。
参考代码：
def polyFeatures(self, x, p):
x_ploy = np.zeros((np.size(x), p), np.float32) # (12, 8)
m = np.size(x) # 12
for i in range(m):
for j in range(p):
x_ploy[i, j] = x[i]**(j+1)
return x_ploy
（3）绘制多项式回归模型拟合曲线
根据上一部分得到的多项式，因为同样是解决一个线性回归的问题，所以之前的损失函数和梯度计算函数仍可使用。
接下来利用优化函数计算得到最优的 theta 值，绘制拟合曲线，当设置正则化系数 lambda=0 的时候，意味这对模型复杂度没有任何处理，得到下图。
可以看出，我们的模型训练的非常好，基本穿过了每一个点，训练误差肯定很小，但是在一些极值外，函数迅速的上升和下降，这就意味这我们设计的模型 过拟合 了，虽然对训练数据拟合很好，但是不具有很好的泛化能力，也意味着模型不稳定。
Polynomial Reg Fit with lambda=0
观察下 lambda=0 的情况下，训练误差和交叉验证误差的曲线，非常明显，训练误差几乎为0，而交叉验证误差却很大，训练集和交叉验证集之间的空隙充分反应了模型的 高方差问题 。
Polynomial Reg Learning curve with lambda=0
此时我们让正则化系数为1，再重复上面的试验，我们再来看下你和曲线和学习曲线的图形。
一目了然，多项式模型很好的拟合了数据，训练误差和交叉验证集误差曲线都随着样本数量的增加都 收敛于一个较小的值 ，因此我们认为当 lambda=1 时，得到的模型没有 高偏差和高方差的问题 ，实际上也是模型在方差和偏差之间进行了很好的 折中 。
Polynomial Reg Fit with lambda=1
Learning curve with lambda=1
参考代码：def plotFit(self, x, mu, sigma, theta, p):
x = np.arange(np.min(x) - 15, np.max(x) + 25, 0.05)
x = x.reshape((-1, 1))
x_poly = self.polyFeatures(x, p)
x_poly = x_poly - mu
x_poly = x_poly/sigma
x_poly = np.hstack([np.ones((x_poly.shape[0], 1)), x_poly])
plt.plot(x, x_poly.dot(theta), '--', linewidth=2)
plt.title('Polynomial Regression Fit (lambda=0.00)')
plt.xlabel('Change in water level (x)')
plt.ylabel('Water flowing out of the dam (y)')
plt.show()
（4）利用交叉验证集选择lambda
通过上面的试验，我们可以知道，lambda明显的影响着多项式正则化回归的训练误差和交叉验证误差。 当lambda为0甚至很小的时候，模型可以很好的拟合训练集，不具备好的泛化能力，当lambda很大的时候，模型又不能很好的拟合数据，出现欠拟合问题 ，那么到底怎样选择一个lambda的值呢？
我们根据上面的实例，选择10个lambda的值，分别绘制每个lambda对应的训练误差和交叉验证集误差，
lambda_vec = {0; 0:001; 0:003; 0:01; 0:03; 0:1; 0:3; 1; 3; 10}
绘制得到下图， 从图中我们可以看出最好的lambda值出现在 3 附近，此时测试误差值大约3.8599，结果已经相当不错了。
Find the best lambda
参考代码：def validationCurveForLamdas(self, x, y, xval, yval, lamda_vec):
error_train = np.zeros((len(lamda_vec), 1))
error_val = np.zeros((len(lamda_vec), 1))
print("LambdaTrain ErrorValidation Error")
for i in range(len(lamda_vec)):
lamda = lamda_vec[i]
theta = self.trainLinearReg(x, y, lamda)
error_train[i] = self.linearRegCostFunction(theta, x, y, 0)
error_val[i] = self.linearRegCostFunction(theta, xval, yval, 0)
print("%d%f%f" % (i, error_train[i], error_val[i]))
return [error_train, error_val]
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