MIT-18.06-线性代数（第一讲）

作者: 林枫bioinfo | 来源:发表于2022-02-27 14:03 被阅读0次

第一讲 —— 方程组的几何解释

本讲将讨论线性代数的基础，求解线性方程组，方程组有n个方程，n个未知数
行图像（Row picture），一个行图像显示一个方程
（重点）*列图像（Column picture）
引入矩阵形式（Matrix form）

1. 两方程两未知数

有方程组： $\left\{ \begin{array}{c} 2x-y=0 \\ -x+2y=3 \\ \end{array} \right.$ ，写成矩阵形式为： $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$ 。其中 $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \\ \end{bmatrix}$ 为系数矩阵（Coefficient matrix），记为 $A$ ； $\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix}$ 为未知数向量，记为 $x$ ；等号右侧的向量 $\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$ ，记为 $b$ 。
于是线性方程组可写为 $Ax = b$ 。

1.1 行图像

行图像

1.2 列图像

$x \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$ ，
该方程的目的在于如何将向量 $\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ \end{bmatrix}$ 和向量 $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ 进行线性组合（linear combination）构成 $\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$ ， $x=1, y=2$ 时，等式成立。

列图像
需要思考的是所有的线性组合又是什么，选取所有的

x

和

y

，所有的组合，会得到任意的右侧向量，这两个向量的组合会布满整个坐标平面。

2. 三方程三未知数

有方程组： $\left\{ \begin{array}{c} 2x-y=0 \\ -x+2y-z=-1\\ -3y+4z=4\\ \end{array} \right.$ ，写成矩阵形式 $A= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -3 & 4 \\ \end{bmatrix}$ ， $b= \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \\ \end{bmatrix}$ 。

2.1 行图像

对于一个方程，所有解的图像是一个平面，三个平面交于一点，为方程组的解。

2.2 列图像

$x \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ -3 \\ \end{bmatrix} + z \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 4 \\ \end{bmatrix}$ ，因为列向量Col3等于右侧向量，于是解易得 $x=0, y=0, z=1$ 。
考虑所有的右侧向量 $b$ ，不管 $b$ 得多少，是否都能求解方程？这等价于代数问题，对任意 $b$ ，是否能求解 $Ax=b$ ，用“线性组合”来问这个问题，即是列的线性组合是否能覆盖整个三维空间？
对于这个矩阵，答案是有，该例中的矩阵为非奇异矩阵，可逆矩阵。但另一些矩阵，得到的答案可能是否定，举例三个列向量同处一个平面时，那么其组合肯定也在这个平面，因此当 $b$ 处在平面以内，方程组有解，但大部分不在平面内的 $b$ ，均是无法构造的，这种情形称作奇异，矩阵并非可逆。

3. 矩阵形式

$Ax =b$ ，这是一种乘法运算，那么如何用矩阵乘向量？首先构造一个矩阵 $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}$ ，它们如何相乘？有两种方法。
方法一： $\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}=1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}+2 \begin{bmatrix} 5 \\ 3 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 12 \\ 7 \\ \end{bmatrix}$ 。
方法二：一次取一行， $2×1+5×2=12$ ， $1×1+3×2=7$ 。