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上一篇:【科普】量子计算通识-7-Deutsch算法解析
这一篇我们来看一下多伊奇问题n位算法是怎么推导出来的。关于多伊奇问题请看【上一篇文章】的开始部分。
多位电路
我们先看一下上篇文章使用过的这张电路图:
上篇文章我们只考虑输入一个比特,忽略了。
计算
在这个电路里面,输入的是个和1个比特,即:
很多时候,量子位之间的被省略。
每个量子位都经过Hadamard门,即变为,即变为,这就得到:
我们注意到:
这表示什么呢?还记得抛两枚硬币的情况吗?
这个表示4种状态的每一种状态可能性都是,它处于不确定的叠加态。对每一种状态来说,都可以对应一个十进制数字,那么就是0,1,2,3,我们用下标表示10进制,也就有:
推而广之,忽略10进制下标,变成求和,从到,就得到:
替换到中得到:
计算
操作的作用是:
我们在上一篇文章推导过,经操作后,无论都有:
同样时候都有:
实际上对于任意都有:
即:
我们把这个式子带入得到经过操作的:
计算
在这里我们可以直接忽略最后一个比特了,就是忽略掉结尾的,专注前半段内容:
我们对每个执行Hadamard操作。注意这里的可以是|1>,也可以是|10>、|17>、|198>...任意十进制数字,如果转为二进制则是|1>、|1010>、|10001>、|11000110>...
怎么计算?我们先从另一个角度看Hadamard门:
我们注意到和的操作区别就是和的区别,那么我们就有:
但这只是针对单个比特的,如果是多个比特呢?先看2个比特的情况:
如果是位的话,那么就有:
我们表示,我们表示,设定格式表示,用那么就有:
注意这里总计需要次求和。比如前面的两位的例子就要进行四次:
好了,我们回到的上部分:
最终测量
注意上面式子里的和都是0或1。
这里的求和来自最早的Hadamard操作,表示从0到;而中的则是来自操作,它代表任意数字。表示的是具有个量子位的,类似这种。
关于测量,其实就是计算每个方向上的可能性。而每个方向就是每种状态,对于单比特就是每个轴向,横正向和竖正向。
数学上:
测量得到和两个方向上的概率都是。
对于四项的竖列也是同样,比如抛两枚硬币得到的结果就有4个方向或者说四个状态:
这也对应了四个比特表示,也可以用四个十进制数字表示。如果有一个那么它在四个状态上的概率就是,并且概率之和是1,就是
好了,回到我们的。
它也可以视为次求和,类似这种情况。
我们只关注假设的情况,那么求和的每一次都是0,就有也都是0,测量状态的概率,就是对它的系数求平方:
当是Constant常数操作的时候,如果,,求和结果是,最终平方后是1;如果,,求和结果是,最终平方后还是1。就是说如果是常数操作,那么最终测得的概率为1,也就是必然测得。
当是Constant常数操作的时候,一半情况,另一半情况,而进行次求和,这是全部可能,也是个偶数,和各占一半,正好抵消,结果将是0。也就是说如果是Constant常数,那么就不会测得。
虽然在数学上似乎是推导完成了,但是很多地方仍然缺乏较好的解释,后续将继续学习和改进。
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