利用矩母函数求独立随机变量之和的分布

利用矩母函数求独立随机变量之和的分布

作者: Boye0212 | 来源:发表于2021-04-12 20:58 被阅读0次

在求独立的随机变量之和的分布时，可用矩母函数法。

1 矩母函数法

定理已知 $X_1,\ldots,X_n$ 为独立的随机变量，各种的矩母函数为 $M_1,\ldots,M_n$ ， $a_1,\ldots,a_n$ 为常数，则 $Y=\sum_{i=1}^{n}a_i X_i$ 的矩母函数为
$M_Y(t)=\text{E}[\exp(t\sum_{i=1}^{n}a_iX_i)]=\prod_{i=1}^{n}M_i(a_i t)$

2 案例

2.1 Bernoulli分布

$X_1,\ldots,X_n$ 为来自 $\text{Bernoulli}(p)$ 分布的随机样本，则 $X_i$ 的矩母函数为
$M(t)=1-p+p e^t$

那么 $Y=\sum_{i=1}^{n}X_i$ 的矩母函数为
$M_Y(t)=(1-p+e^t)^n$
这正是 $\text{Binomial}(n,p)$ 分布的矩母函数。

2.2 正态分布

若 $X_i\sim N(\mu_i,\sigma^2_i)$ ， $i=1,\ldots,n$ ，且相互独立，正态分布的矩母函数为
$M_X(t) = \exp(t\mu+\dfrac{1}{2}t^2 \sigma^2)$

那么 $Y=\sum_{i=1}^{n}a_i X_i$ 的矩母函数为
$\begin{aligned} M_Y(t)=&\prod_{i=1}^{n}\exp\left(a_i\mu_i t+\dfrac{1}{2}a_i^2 \sigma_i^2 t^2\right)\\ =&\exp\left(t\sum_{i=1}^{n}a_i\mu_i+\dfrac{t^2}{2}\sum_{i=1}^{n}a_i^2 \sigma_i^2 \right) \end{aligned}$

因此 $Y\sim N(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\mu_i,\sum\limits_{i=1}^{n}a_i^2 \sigma_i^2)$ 。

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