有限维空间

先从原来的四维空间看问题：

1. 坐标系
2. 内积（空间向量与坐标轴（单位向量）的内积表示在该坐标轴上的投影）
3. 距离、角度

几何里头的一个重要概念：投影

空间中一个向量按标准正交基做了投影分解，把复杂的问题简单化了(通过重新建立坐标系的方式)

举个例子：

根据线性代数的知识我们知道 的特征值都是实的；的属于不同特征值的特征向量相互正交；可以化为对角矩阵。

因此我们可以求出它的特征值，，，。进一步，我们还可以通过单位正交化求出特征值对应的一组特征向量，，，。例如，其它三个特征向量也可求出。

从而我们得到了一组四维空间中的标准正交基，并且在这组标准正交基下，矩阵成为了对角矩阵：

注1：在新的坐标系下，线性变换有最简单的标准型。

注2：在每一个特征子空间上（新的坐标系对应的一维子空间上），作用的形式是最简单的（放大、缩小特征向量的倍数）。换句话说，的作用在新的坐标系下是很简单的，就是对每一维坐标轴做简单的放大或缩小。

根据以上分析，我们可以把原来的向量投影到新构造的坐标系下:

则，

其中，，，，，是向量在坐标系上的投影，于是：

总结，矩阵确定了一组正交基，任意向量属于四维空间，只要知道向量在上的投影，则作用的方式一目了然，即。

作用的方式是由特征值、特征向量决定的。是在上的投影算子，则：

线性变换分解成个投影变化（算子）的线性组合。数学处理问题的原则是把复杂问题简单化，把复杂的问题转化为已知的简单的问题来处理（化归）。

无穷维空间的类比与联想

泛函分析要研究的对象（元素）是函数、运算。

如微分、积分运算，它们作用的对象是函数，微积分运算与维空间中的线性变换相比较，相同之处都是线性运算；不同之处，把一个向量（点）映射成另一个向量（点），而微积分运算是把一个函数映射成另一个函数。函数不能用有限个数刻画，可能可以用无穷多个数刻画。也可以将一个函数看成无穷维空间中的一个点。

1. 空间的概念（无穷维空间）
2. 空间的结构（对空间中元素的度量）：距离、长度、内积
3. 空间中的收敛性（强，弱，一致收敛，逐点收敛等）

这是泛函分析研究的一些重点。

无穷维空间线性算子（运算）与坐标系

1. 我们知道，函数是可以投影到一个无穷维的坐标系上（例如通过泰勒级数、傅里叶级数展开）进行分解，所以要考察如何变化，只要观察在每一维坐标轴上（特征函数）是如何变化的，然后把在所有无穷维坐标上的变化相加即可。

2. 无穷维空间的运算，例如微分运算如何在坐标系下进行分解？是否也可以是一些运算（算子）的特征函数（因为在有限维空间中矩阵作用可以分解到特征向量下进行简单的放大或缩小）？

3. 在有限维空间中，可以有不同的正交系（它们可由不同的对称矩阵产生），在无穷维空间是否也可以有不同的正交系，它们可以由不同的算子（运算）产生？
   答案是肯定的！

建立一个空间，这个空间中的元素可以是函数或运算（矩阵运算，微分运算，积分运算，级数（极限）运算）。建立一种空间的框架，把元素（可以是函数或运算）进行坐标分解。我们希望通过类比等方法把它们推广到（结果可能会有差异）泛函分析（无穷维空间）的研究中去。