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3.2 矩阵的分解
矩阵的分解是矩阵相关运算中的重要内容，MATLAB提供了用于矩阵分解运算的多种函数。本节将集中介绍MATLAB所提供的矩阵分解运算函数的功能及使用。
3.2.1 LU分解
矩阵的三角分解又称高斯消去法分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。MATLAB提供了专门的函数lu来计算矩阵的LU分解。该函数的调用格式如下：
① [L,U] = lu(X)
② [L,U,P] = lu(X)
其中，返回矩阵U为上三角阵，矩阵L为下三角阵或其变换形式，且满足LU=X。返回矩阵P为单位矩阵的行变换矩阵，满足LU=PX。
【例3.24】矩阵X的LU分解
在命令窗口中输入以下内容，创建矩阵X：
>> X=[5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9;4 5 6 7 8];
①对矩阵X进行LU分解，在命令窗口输入：
>> [L,U] = lu(X) %对矩阵X进行LU分解
3.2.2 奇异值分解
奇异值分解在矩阵分析中占有极其重要的作用。MATLAB提供了用于矩阵奇异值分解的函数svd，该函数是利用LINPACK程序库中的ZSVDC编制而成的。在计算的过程中假如经过75步QR分解仍得不到一个奇异值，那么系统会给出“不收敛”的提示。奇异值分解函数svd的几种调用格式如下：
① s = svd (X)
② [U,S,V] = svd (X)
③ [U,S,V] = svd (X,0)
其中，命令①返回向量s包含矩阵X分解所得到的全部奇异值向量。命令② 返回一个与X同大小的对角矩阵S和两个酉矩阵U与V，且满足= USV'。命令③ 得到一个“有效大小”的分解，如果m×n维矩阵X中m>n则只计算出矩阵U的前n列，矩阵S的大小为n×n。
【例3.25】奇异值分解。
在命令窗口中输入以下内容，创建矩阵b1。
>> b1=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;2 4 6;5 7 5];
①对b1进行奇异值分解，返回一个与b1同大小的对角矩阵S以及两个酉矩阵U和V。在命令窗口中输入：
>> [U,S,V] = svd (b1) %对b1进行奇异值分解
②对b1进行奇异值分解，调用能得到一个“有效大小”的分解的函数格式，返回对角矩阵S以及两个酉矩阵U和V。在命令窗口中输入：
>> [U,S,V] = svd (b1,0) %对b1进行奇异值分解
3.2.3 特征值分解
MATLAB提供了eig函数来对矩阵进行特征值分解，该函数的几种调用格式如下：
① d = eig(A)
② d = eig(A,B)
③ [V,D] = eig(A)
④ [V,D] = eig(A,'nobalance')
⑤ [V,D] = eig(A,B)
⑥ [V,D] = eig(A,B,flag)
其中，①计算矩阵A的特征值d，返回结果以向量形式存放。②计算方阵A和B的广义特征值d，返回结果以向量形式存放。③计算矩阵A的特征值对角阵D和特征向量阵V，使AV=VD成立。④计算矩阵A的特征值对角阵D和特征向量阵V，使AV=VD成立。当矩阵A中有与截断误差数量级相差不远的值时，该指令可能更精确。'nobalance'起误差调节作用。⑤计算矩阵A和B的广义特征值向量阵V和广义特征值阵D，满足AV=BVD。最后一条命令⑥由flag指定算法计算矩阵A和B的特征值D和特征向量V。其中，flag的可能值为：'chol' 和'qz' 。当flag值为'chol'时表示对B使用Cholesky分解算法，其中A为对称Hermitian矩阵，B为正定阵。当flag值为'qz'时表示使用QZ算法，其中A、B为非对称或非Hermitian矩阵。
【3.26】特征值分解
在命令窗口中输入以下内容，创建矩阵A。
>> A=[1 2 3 4 5;5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9];
对矩阵A进行特征值分解，在命令窗口输入：
>> [V,D] = eig(A) %对矩阵A进行特征值分解
3.2.4 Cholesky分解
MATLAB提供了chol函数来对矩阵进行Cholesky分解，该函数的调用格式为：
①R = chol(X)
②[R,p] = chol(X)
函数调用格式①如果X为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上三角阵R，满足R'*R = X；若X非正定，则产生错误信息。②不产生任何错误信息，若X为正定阵，则p=0，R与上相同；若X非正定，则p为正整数，R是有序的上三角阵。
【例3.27】Cholesky分解
在命令窗口中输入以下内容，创建矩阵A。
>> A=[1 2 3 4 5;5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9];
对矩阵A进行Cholesky分解，在命令窗口中输入：
>> [R,p] = chol(A) %对矩阵A进行Cholesky分解
3.2.5 QR分解
正交矩阵是指矩阵的列向量相互正交，且各个列向量的长度相等。QR分解就是将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。MATLAB提供了用于矩阵QR分解的函数，表3.7中介绍用于矩阵QR分解的函数调用格式和功能。
表3.7 矩阵QR分解
| 函数名 | 功能 |
|---|---|
[Q,R] = qr(A) |
求得正交矩阵Q和上三角阵R，Q和R满足A=QR |
[Q,R,E] = qr(A) |
求得正交矩阵Q、上三角阵R和单位矩阵的变换形式矩阵E，R的对角线元素按大小降序排列，满足AE=QR |
[Q,R] = qr(A,0) |
产生矩阵A的“经济大小”分解 |
[Q,R,E] = qr(A,0) |
E的作用是使得R的对角线元素降序，且Q*R=A(:, E) |
R = qr(A) |
稀疏矩阵A的分解，只产生一个上三角阵R，满足R'R = A'A，这种方法计算A'*A时减少了内在数字信息的损耗 |
[C,R] = qr(A,b) |
用于稀疏最小二乘问题：minimize 的两步解：[C,R] = qr(A,b)，x = R\c |
R = qr(A,0) |
针对稀疏矩阵A的经济型分解 |
[C,R] = qr(A,b,0) |
针对稀疏最小二乘问题的经济型分解 |
[Q,R]= qrdelete(Q,R,j) |
返回将矩阵A的第j列移去后的新矩阵的qr分解 |
[Q,R]= qrinsert(Q,R,j,x) |
在矩阵A中第j列插入向量x后的新矩阵进行qr分解。若j大于A的列数，表示在A的最后插入列x |
3.2.6 Schur分解
Schur分解将使用schur函数，该函数的调用格式为：
①T = schur(A)
②T = schur(A,flag)
③[U,T] = schur(A,…)
命令行①-③返回正交矩阵U和schur矩阵T，满足A = UTU'。其中，若A有复特征根，则flag='complex'，否则flag='real'。
【例3.31】Schur分解
在命令窗口输入以下内容，创建矩阵K。
>> K=magic(3); %生成3阶的魔方阵
对矩阵K进行Schur分解，在命令窗口输入：
>> [U,T]=schur(K) %对矩阵K进行Schur分解
3.2.7 复数特征值对角阵与实数块特征值对角阵的转换
即使是实阵，在其特征值中也可能出现复数。实际使用中常需要把这一对对共轭复数特征值转化为一个（2x2）的实数块。函数调用格式为：
① [VC,DC] = rsf2csf (VR,DR) % 将实舒尔形式转化成复舒尔形式
② [VR,DR] = cdf2rdf (VC,DC) %将复舒尔形式转化成实舒尔形式
【例3.32】复数特征值对角阵与实数块特征值对角阵的转换
在命令窗口输入以下内容，创建矩阵B。
>> B=[5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9;4 5 6 7 8];
首先对矩阵B进行Schur分解，在命令窗口输入：
>> [u,t]=schur (B) %对矩阵B进行Schur分解
然后将实舒尔形式转化成复舒尔形式，在命令窗口输入：
>> [U,T]=rsf2csf (u,t) %实舒尔形式转化成复舒尔形式
3.2.8 广义奇异值分解
MATLAB提供了gsvd函数对矩阵进行广义奇异值分解，其具体调用格式为：
①[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)
②[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0)
③sigma = gsvd (A,B)
其中，函数调用格式①返回酉矩阵U和V、一个普通方阵X、非负对角矩阵C和S，满足A = UCX'，B = VSX'，C'C + S'S = I (I为单位矩阵)。A和B的列数必须相同，行数可以不同。函数调用格式②和①基本相同，而③则返回广义奇异值sigma值。
【例3.33】广义奇异值分解
在命令窗口输入以下内容，创建矩阵AO和d。
>> AO=[1 2 3 4 5 6 7 8;2 3 4 5 6 7 8 9;3 4 5 6 7 8 9 0]';
>> d=magic(3); %生成3阶的魔方阵
对矩阵AO进行广义奇异值分解，在命令窗口输入：
>> [U,V,X,C,S] = gsvd(AO,d) %对矩阵AO进行广义奇异值分解
3.2.9 特征值问题的QZ分解
MATLAB提供了qz函数对矩阵进行特征值问题的QZ分解，该函数的调用格式为：
①[AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B)
②[AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B,flag)
其中函数调用格式①中A、B为方阵，返回结果AA和BB为上三角阵，Q、Z为正交矩阵或其列变换形式，V为特征向量阵，且满足QAZ= AA 和QBZ = BB。命令行②产生由flag决定的分解结果，flag取值为'complex'表示复数分解（默认）；取值为'real'表示实数分解。
【例3.34】特征值问题的QZ分解
在命令窗口输入以下内容，创建矩阵A和B。
>> A=[1 2 3 4 5;5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9];
>> B=[5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9;4 5 6 7 8];
对矩阵A、B进行特征值问题的QZ分解，在命令窗口输入：
>> [AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B) %对矩阵A、B进行特征值问题的QZ分解
3.2.10 海森伯格形式的分解
如果矩阵H的第一子对角线下元素都是0，则H为海森伯格(Hessenberg)矩阵。如果矩阵是对称矩阵，则它的海森伯格形式是对角三角阵。MATLAB可以通过相似变换将矩阵变换成这种形式，具体调用格式为：
①H = hess(A) 返回矩阵A的海森伯格形式
②[P,H] = hess(A) P为酉矩阵，满足：A = PHP' 且P'P = eye(size(A))
【例3.35】海森伯格形式的分解
在命令窗口输入以下内容，创建矩阵A。
>> A=[1 2 3 4 5;5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9;]
计算矩阵A的海森伯格形式，可在命令窗口输入：
>> [P,H]=hess(A) %返回矩阵A的海森伯格形式
作者：德特数据
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