高数梯度（Gradient）相关知识总结

希腊字母发音对照表

小写字母	大写字母	发音
α	Α	Alpha
β	Β	Beta
λ	Λ	Gamma
δ	Δ	Delta
ε	Ε	Epsilon
ζ	Ζ	Zeta
ν	Ν	Nu
ξ	Ξ	Xi
ο	Ο	Omicron
π	Π	Pi
ρ	Ρ	Rho
σ	Σ	Sigma
η	Η	Eta
θ	Θ	Theta
ι	Ι	Iota
κ	Κ	Kappa
λ	Λ	Lambada
μ	Μ	Mu
τ	Τ	Tau
υ	Θ	Upsilon
φ	Φ	Phi
χ	Χ	Chi
ψ	Ψ	Psi
ω	Ω	Omega

向量

向量可以用它的模和方向来表示，也可以用它的坐标(也就是说坐标可以表示模和方向)来表示。为了应用上的方便，有必要找出这两种表示法之间的联系，就是说要找出向量的坐标与向量的模、方向之间的联系。
数学中研究的向量与始点无关，为自由向量,所以模和方向相同，始点不同的两个向量相等

对于非零向量α=ΟΜ(上边带箭头)
由向量的定义可知：它的模为|ΟΜ|=sqrt(pow(x,2)+pow(y,2),pow(z,2))
它的方向，可以用它与三条坐标轴的夹角α(0<=a<=π),β(0<=β<=π),λ(0<=λ<=π)来表示，并称
α,β,λ为非零向量ΟΜ的方向角，而cos α,cos β,cos λ称为该向量的方向余弦。
由图可知：

image image 其中 模

上述讨论表明：当已知非零向量OM的坐标

image 表示后，可按下列公式计算它的模与方向余弦 模 、 方向余弦

同时，若以知向量ΟΜ的模与方向余弦，也可以按下列公式计算其坐标：

坐标

把方向余弦公式的三个等式两边分别平方后相加，便得到

这就是说，任一向量的方向余弦的平方和等于1。

由上面讨论知，与非零向量ΟΜ 同方向的单位向量为

单位向量 单位向量

极限

函数极限标准定义

• 设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。

• 设函数f(x)在x₀处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正数δ，使得当
  |x-x₀|<δ时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在x₀处的极限。

去心邻域：即x!=x₀,x=x₀ 处函数无定义，所以f(x₀)=?不知道。

极限的几何定义

导数

斜率亦称“角系数”,表示一条直线相对于横坐标轴的倾斜程度.一条直线与某平面直角坐标系横坐标轴正半轴方向的夹角的α 正切值 (tan α) 即该直线相对于该坐标系的斜率。‘

导数也叫微商

• 定义
  设函数 y=f（x）在点x₀的某个邻域内有定义，当自变量x在x₀处有增量Δx，（x₀+Δx）也在该邻域内时(这里强调也在邻域内，而极限定义强调不在邻域内)，相应地函数取得增量Δy=f（x₀+Δx）-f（x₀）；如果Δy与Δx之比当Δx→0时极限存在，则称函数y=f（x）在点x₀处可导，并称这个极限为函数y=f（x）在点x₀处的导数记作
  导数①

导数② 导数③ 导数定义公式

需要指出的是：以下两者在数学上是等价的。‘

导数定义等价公式

• 几何意义
  当P点趋近于P₀时，直线T为曲线PP₀在点P₀处的切线，导数即为曲线PP₀在该点切线的斜率 tan α
  导数的几何意义

偏导数

偏导数的定义如下：

偏导数定义

可以看到，导数与偏导数本质是一致的，都是当自变量的变化量趋于0时，函数值的变化量与自变量变化量比值的极限。直观地说，偏导数也就是函数在某一点上沿坐标轴正方向的的变化率。
区别在于：

• 导数，指的是一元函数中，函数y=f(x)在某一点处沿x轴正方向的变化率；

• 偏导数，指的是多元函数中，函数y=f(x0,x1,xj…xn)在某一点处沿某一坐标轴（x0,x1,xj…xn）正方向的变化率。

• 编导数的几何意义
  偏导数为函数在每个位置处沿着自变量坐标轴方向上的导数（切线斜率）

  
  编导数的几何意义

微分

微分几何意义
图中符号的意义及关系如下：
　Δx：x的变化量；
　dx：x的变化量Δx趋于0时，则记作微元dx；
　Δy：Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，是函数的增量；
　dy：dy=f’(x0)dx，是切线的增量；(微商概念)
　当Δx→0时，dy与Δy都是无穷小，dy是Δy的主部，即Δy=dy+o(Δx) 【o(Δx) 为高阶无穷小】.

方向导数

对于多元函数，如果说偏导数表示的是多元函数在沿坐标轴的变化率，那么可以说方向导数是沿着任意一指定方向的变化率，不一定是沿着坐标轴。
方向导数也是对应于多元函数的，方向导数是一个标量值。（即为一个实数）
这里给出方向导数的数学表达式：

定义 定理
其中向量e=(cos α,cosβ)为方向余弦
若方向e=(1,0) 也就是x轴方向，即为x的编导数
x轴方向
若方向e=(0,1)也就是y轴方向,即为y的偏导数
y轴方向

• 几何意义

  
  方向导数的几何意义

梯度

梯度的定义如下：

定义
可以通过公式直观地看方向导数和梯度的关系：
方向导数和梯度的关系
θ为梯度与方向l的夹角
当 θ = 0 时，e 与梯度方向相同时，方向导数最大，函数增加最快
当 θ= π时，e 与梯度方向相反时，方向导数最小，函数减少最快
当 θ = π/2 时，e 与梯度方向垂直时，方向导数为0， 函数变化率为零

• 梯度的几何意义
  https://mathinsight.org/applet/gradient_directional_derivative_mountain
  梯度的几何意义
  表明函数f(x,y)在一点(x0,y0)的梯度的方向就是
  等高线：将左边的曲面按z轴的某个平面切开后的平面为右边图示，同环曲线上的任一点的z值相同，所以叫等高线，也叫等值线
  等高线（等值线）f(x,y)=c 在这点的法线方向 n(带箭头),而梯度的模|grad f(x0,y0)|就是沿这个法线方向的方向导数。