Week 15

作者: 悟空金月饺子 | 来源:发表于2021-08-09 01:09 被阅读0次

期末还有暑假的一些事，一个月没有更新，不过也是看了些许文章，只是来不及总结。还有弦论大会的视频还没看完。

Kazumi Okuyama and Kazuhiro Sakai, "JT gravity, KdV equations and macroscopic loop operators"

觉得很有意思，把我喜欢的JT引力，拓扑引力还有可积性都连起来了。核心的想法还是Witten还有Kontsevich发现的拓扑引力的生成泛函是KdV hierarchy的 $\tau$ function。

考虑一个genus为g带有n个标记点 $p_i$ 的黎曼面 $\Sigma$ 。在他的moduli space $\mathcal{M}_{g,n}$ 上我们定义intersection numbers或者就理解为拓扑引力的关联函数

$\langle \kappa^m \tau_{d_1}\dots \tau_{d_n}\rangle =\int _{{M}}\kappa^m \psi_1^{d_1}\dots \psi_n^{d_m}$

这里 $\kappa$ 正比与Weil-Petersson symplectic form $\psi_i$ 是在 $p_i$ 处的线丛的first Chern 类。

Weil-Petersson 也可以写成一个比较简单的积分形式

$V_{g,b}= \int_{ {M}_{g,b}}\exp ( 2\pi^2 \kappa+\sum_{i}\frac{b_i^2}{2}\psi_i )$

接下来我们定义所有关联函数的生成泛函
$G(s,\{t_k\})=\sum_{g=0}^\infty g_s^{2g}\langle e^{s\kappa+\sum_{d=0}^\infty t_d\tau_d}\rangle_g$
因为这些关联函数不是独立的因为不同的标记点可以collide，所以不同的关联函数会满足一些等式

$\langle \exp(\xi \kappa)\rangle=\langle \exp ( \sum_{k=2}\frac{(-1)^k\xi^{k-1}}{(k-1)!} \tau_k )\rangle$
也就说我们不用考虑 $\kappa$ ，而考虑一个reduced 的生成泛函
$F(\{t_k\})=\sum_{g=0}^\infty g_s^{2g}\langle e^{\sum_{d=0}^\infty t_d\tau_d}\rangle_g$
这里
$G(s,\{t_k\})=F(\{t_k+\gamma_k s^{k-1}\})$

而JT引力正好对应了一组特殊的 $\gamma$ :
$t_k=\gamma_k$
with

$\gamma_0=\gamma_1=0,\quad \gamma_k=\frac{(-1)^k}{(k-1)!}$
考虑所有的拓扑的贡献JT引力的配分函数可以写成
$\langle Z(\beta)\rangle_{g\geq 1}\rangle=\sum_{g}e^{(1-2g)S_0}\int_0^\infty bdb Z_{tr}(\beta,b)V_{g,1}(b)$
with
$Z_{tr}(\beta,b)_{}=\frac{\gamma^{1/2} e^{-\frac{\gamma b^2}{2\beta}}}{(2\pi \beta)^{1/2}}$
利用Weil-Petersson的积分表达式，我们对其做Taylar展开，然后将 $b$ 积分掉

$V_{g,1}(b)=\langle \exp(2\pi^2\kappa) \sum_d (\frac{b^2}{2}\psi_1)^d\frac{1}{d!}\rangle$
这里我们要用下面这个积分等式
$\int e^{-a b^2}b^{k}=\frac{1}{2}a^{-1/2-k/2}\Gamma((1+k)/2)$
积分后的结果是
$\langle Z(\beta)\rangle_{g}=\sum_d (\frac{\gamma}{\beta})^{-1-d}(\frac{\gamma}{2\pi\beta})^{1/2}\langle \exp(2\pi^2\kappa) \psi_1^d\rangle_g$