一元二次方程的解法

      到目前为止，我们已经掌握了一元一次方程、二元一次方程组的解法，今天就一起探究一下一元二次方程的解法。

      一元二次方程，顾名思义就是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为二次的方程。那么任意二元一次方程就可以化为ax²+bx+c=0（a, b, c, 为常数，a≠0）的形式。

      那我们目前可以解决那些特殊的一元二次方程呢？比如这个：

x²=5

x=±√5

x=√5或x=-√5

因此x²=a或(x+b)²=a(a≥0)形式的方程是我们目前可以解决的一种一元二次方程。

      那么除此之外我们还有什么现成方法呢？请看这个特殊方程：

x(5x-4)=0

x=0，或5x-4=0

x=0，x=4/5

或这个：

(x-2)(x-1) =0

x-2=0，或x-1=0

x=2，或x=1

这种有两个带x的多项式相乘为0的一元一次方程是我们可以解决的，而它们都是可以由特殊的一元二次方程化成。如第一个方程是5x²-4x=0通过因式分解可以得到x(5x-4)=0。

      所以在目前我们有两种方法可以解决一些特殊的一元二次方程，那么我们就从这里入手，尽可能把一元二次方程转化为这两种形式，再在其中找到新方法。

      比如看到方法一中的(x+a)²就会想到完全平方公式，那么如果一个一元二次方程可以化为x²+2ax+a²=b(b≥0)的形式，那么我们就可以把它变为我们熟悉的(x+a)²=b的形式，再进一步解决。举个例子：

x²+6x+9=16

(x+3)²=16

x+3=±4

x=1，或x=-1

那么再把这个方法进行一个小升级，比如方程中缺少一个平方项，只有“a²+2ab”的情况，我们就可以根据完全平方公式推断出缺失部分并进行计算，如：

x²+8x=9

x²+8x+4²=9+4²

(x+4)²=25

x+4=±5

x=1，或x=-9

      但我们可以发现前面的的方法只能解决一部分的一元二次方程，那么有没有可以解决所有一元二次方程的通法呢？

      我们联想到一元一次方程的解法：一元一次方程的解析式是ax+b=0（a≠0） ，而这就可以化为x=-b/a。那ax²+bx+c=0（a≠0）是不是也可以化为x=……的形式呢？

公式推导(以下文字同上)

ax²+bx+c=0

x²+(b/a)x+c/a=0（同时除以a）

x²+(b/a)x+(b/2a)² - (b/2a)²+c/a=0（配方）

(x+b/2a)²-b²-4ac/4a²=0（化简）

(x+b/2a)²=b²-4ac/4a²（移项）

x+b/2a=±(√b²-4ac)/4a²（化简）

x=-b/2a±(√b²-4ac)/4a²

x=-b±(√b²-4ac)/2a

所以，一个一元二次方程的根即为：x=(-b±√b²-4ac)/2a

      最后，解决其他方程问题时我们也会结合图像进行求解，那一元二次方程应该也可以使用数形结合的思想解决的。

比如解决

x²+2x=15可用如下图像：

几何解法

一方面大正方形面积为(x+1)²，另一方面它又等于15+1，所以就可以知道x=3。

但是这样的几何解法有一个问题，因为线段的长度不能是负数，所以上题按正常结果是等于3或-5。这一点在应用中还要多多谨慎。

      那么本次的关于一元二次方程的探究就先到这里，欢迎大家提出更多的方法一起讨论探究。

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