前几天刷知乎，突然刷了到一条《有分红的美式看涨期权为什么可能会提前行权?》，回想自己立了flag之后又好久没写文章了，刚好以这个话题做一个更新。本期先就这个问题，做相关的推导和总结，期权太基础的内容本期就先不作普及了，之后看时间和精力，作一个由初级到中级的系列总结文章。当然，如果是高级的内容，如伊藤引理的推导这种，我自己到现在还糊里糊涂的，等我能搞定了再说吧。

      话说，期权在衍生品中属于一个比较复杂的存在，同时又在风险管理中占据着极为重要的地位。本文先仅从理论上简单的讨论比较下各种期权，如有错误的地方欢迎大家指正批评，讨论的结构如下：

一、标的资产不产生现金流

1. 看涨期权

结论：在股票不支付红利的情况下，美式看涨期权不应提前行权。美式看涨期权价值与欧式看涨期权价值相同。

原因：美式期权若提前行权，不管到期时股票价格是否超过行权价，都不能获得本金的无风险收益。通俗点说就是，你现在花了本金X购买了股票，如到期时股票价格S<X,那你买亏了，多花本金了；如果到期是股票价格S>X，那你现在行权也亏了，因为你明明可以把钱放银行吃利息，等到期再行权。（当然，以上结论都是理论上的，实际并不完全是这样。）

推导：

假设投资者有两个投资组合。

组合1：买入一份 欧式看涨期权 c 并持有现金，现金等于期权的行权价格 X 的现值（以无风险利率进行折现）即 PV(X)。

组合2：持有股票S。

组合1中我们用持有的行权价格X的现值即PV(X)的现金进行投资，在到期时获得现金X。如果到期时股票，组合1会行权，即用到期时获得的现金以行权价X够买价值为的股票；如果到期时，则组合1不会行权，仍持有到期时获得的现金X。

因此，组合1的到期价值为。组合2的到期价值。且有，组合1的到期价值始终大于等于组合2的到期价值。即。

因为，组合1的现值为 即 ，组合2的现值为S。

根据无套利理论，则有。

(注：无套利理论为 )

由于，期权价值不为负。所以有

                                                                                              （1.1）

由于，美式期权可随时行权，将组合1中的期权替换为 美式看涨期权 C ，若此刻想立即拥有股票，则要么立即行权，要么直接购买股票，对于期权则有

                                                                                                         (1.2)

因为 (意味着提前行权则无法享受无风险收益)，所以有，即（式1.1）>（式1.2），回到上文结论：在股票不支付红利的情况下，美式看涨期权不应提前行权。美式看涨期权价值与欧式看涨期权价值相同。

2. 看跌期权

结论：对于看跌期权，无论是否存在期间现金流，美式看跌期权的价格总是大于欧式看跌期权。

原因：某些情况下，对于美式看跌期权而言，提前把资产抛出可以获得现金，而现金可以投资于无风险资产获得收益，于是提前行权获利更多。美式看跌期权相当于比欧式看跌期权有更多时间选择的权利。

推导：假设投资者有两个投资组合：

组合1：买入一份 欧式看跌期权 p，并且持有 股票。

组合2：持有现金，且现金等于执行价格的现值，。

组合1中，如果到期时股票价格大于行权价格，即，则不行权，期权价值为0，组合价值为；如果到期时股票价格小于行权价格，即，则期权行权，组合价值为。因此，组合1的到期价值为 。

组合2的到期价值为 。

因此，组合1的终值始终大于组合2的终值：

根据无套利原理，组合1的现值始终大于组合2的现值：

由于，期权价值不为负，则欧式看跌期权有：

                                                                                            （2.1）

如果将组合1中的 欧式看跌期权p 替换为 美式看跌期权P，若想要拥有现金，要么行权（时以X卖出），要么直接卖出股票（时），对于期权则有：

                                                                                                  （2.2）

因为(意味着提前行权可以用更多的现金投资获得无风险收益)，所以有（式2.2）>（式2.1），即在某些情况下，美式看跌期权提前行权收益大于持有到期收益。

二、标的资产产生现金流

1. 看涨期权

结论：对于标的资产可带来现金流回报的看涨期权，在期权合约的存续期内，美式期权的价格高于可对比的欧式期权价格。

原因：提前行权可获得现金流，提前行权获得的现金流进行投资收益可能会超过持有到期的收益。具体是否要提前行权要看获得的现金流大小及机会成本。

推导：假设投资者有两个投资组合。

组合1：买入一份 美式看涨期权 c 并持有现金，现金等于期权的行权价格 X 的现值（以无风险利率进行折现）即 PV(X)。

组合2：持有股票，股票在未来 t 时刻将有一笔分红。

因为，股票分红会导致股票价格下跌，因此，组合2的现值为：。其他推导与上文类似。由此可知，美式看涨期权持有到期时（等同欧式看涨期权）价值为：

                                                                     (3.1)

(注：持有到期时，在t时刻股票会进行分红，因为此时并没有行权，即没有买入股票，则无法得到分红，同时股票价格还会下跌)

美式看涨期权提前行权时价值为：

                                                                                                         (3.2)

(注：若此刻立即行权，则股票还未进行分红，股价也并未下跌)

对比（式3.2）和（式3.1）可推出，若要有分红的看涨期权提前行权，则需要满足：

，得出。

总结：

（1）如果分红的现值，则无论股价如何高，都不应该在除息日前行权。

（2）如果分红的现值，且股价足够高，在除息日前立刻行权最佳。这是因为，如果股价足够高，该期权为深度实值，到期大概率也会行权，那么在除息日前股价还未根据分红下调时行权则更佳。

2. 看跌期权

结论：与看涨期权不同，看跌期权涉及卖出标的股票，提前行权意味着放弃未来的分红。因此，美式看跌期权的价格总是大于欧式看跌期权的价格。

根据上文类似的方法可以推导出结果了，此处细节省略，可得出：

欧式看跌期权

美式看跌期权立即行权时

。