一、什么是二分查找?
二分查找针对的是一个有序的数据集合,每次通过跟区间中间的元素对比,将待查找的区间缩小为之前的一半,直到找到要查找的元素,或者区间缩小为0。
二、时间复杂度分析?
- 时间复杂度
假设数据大小是n,每次查找后数据都会缩小为原来的一半,最坏的情况下,直到查找区间被缩小为空,才停止。所以,每次查找的数据大小是:n,n/2,n/4,…,n/(2k),…,这是一个等比数列。当n/(2k)=1时,k的值就是总共缩小的次数,也是查找的总次数。而每次缩小操作只涉及两个数据的大小比较,所以,经过k次区间缩小操作,时间复杂度就是O(k)。通过n/(2^k)=1,可求得k=log2n,所以时间复杂度是O(logn)。 - 认识O(logn)
- 这是一种极其高效的时间复杂度,有时甚至比O(1)的算法还要高效。为什么?
- 因为logn是一个非常“恐怖“的数量级,即便n非常大,对应的logn也很小。比如n等于2的32次方,也就是42亿,而logn才32。
- 由此可见,O(logn)有时就是比O(1000),O(10000)快很多。
三、如何实现二分查找?
- 循环实现
注意事项:
- 循环退出条件是:start<=end,而不是start<end。
- mid的取值,使用mid=start + (end - start) / 2,而不用mid=(start + end)/2,因为如果start和end比较大的话,求和可能会发生int类型的值超出最大范围。为了把性能优化到极致,可以将除以2转换成位运算,即start + ((end - start) >> 1),因为相比除法运算来说,计算机处理位运算要快得多。
- start和end的更新:start = mid - 1,end = mid + 1,若直接写成start = mid,end=mid,就可能会发生死循环。
- 递归实现
四、使用条件(应用场景的局限性)
- 二分查找依赖的是顺序表结构,即数组。
- 二分查找针对的是有序数据,因此只能用在插入、删除操作不频繁,一次排序多次查找的场景中。
- 数据量太小不适合二分查找,与直接遍历相比效率提升不明显。但有一个例外,就是数据之间的比较操作非常费时,比如数组中存储的都是长度超过300的字符串,那这是还是尽量减少比较操作使用二分查找吧。
- 数据量太大也不是适合用二分查找,因为数组需要连续的空间,若数据量太大,往往找不到存储如此大规模数据的连续内存空间。
五、思考
- 二分查找的循环和递归实现
- 二分查找的注意事项,退出条件等
- 二分查找的时间复杂度分析
- 假设我们有 1000 万个整数数据,每个数据占 8 个字节,如何设计数据结构和算法,快速判断某个整数是否出现在这 1000 万数据中? 我们希望这个功能不要占用太多的内存空间,最多不要超过 100MB,你会怎么做呢?
- 假设有 1000 条订单数据,已经按照订单金额从小到大排序,每个订单金额都不同,并且最小单位是元。我们现在想知道是否存在金额等于 19 元的订单。如果存在,则返回订单数据,怎么做?
- 如何编程实现“求一个数的平方根”?要求精确到小数点后 6 位?
- 我刚才说了,如果数据使用链表存储,二分查找的时间复杂就会变得很高,那查找的时间复杂度究竟是多少呢?如果你自己推导一下,你就会深刻地认识到,为何我们会选择用数组而不是链表来实现二分查找了。
- 查找第一个值等于给定值的元素
- 查找最后一个值等于给定值的元素
- 查找第一个大于等于给定值的元素
- 查找最后一个小于等于给定值的元素
- 如何快速定位出一个 IP 地址的归属地?
- 如果有序数组是一个循环有序数组,比如 4,5,6,1,2,3。针对这种情况,如何实现一个求“值等于给定值”的二分查找算法呢?(leetcode 33)
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