Dirac方程

作者: 蓝色樱花雨谭小英 | 来源:发表于2022-08-25 17:19 被阅读0次

这部分主要式介绍Dirac方程及其相关内容，最终得到正反电子自旋向上和向下的旋量。

Dirac方程是描述自旋为 $1/2$ 的费米子波函数随时间演化的相对论性波动方程，由Dirac在1928年提出。它的平面波解有四个，分别对应正反费米子自旋向上和向下的四种情况。

Dirac方程

在牛顿力学中，质点能量和动量的关系由 $E=\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m}+V$ 描述。

其对应的量子力学波动方程可以通过对应关系得到。对应关系为： $\boldsymbol{p}\to-i\hbar\boldsymbol{\nabla}$ ， $E\to i\hbar\frac{\partial}{\partial t}$ 。从而得到：
$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi+V\Psi=i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}$

其中 $\Psi(t, x, y, z)$ 为含时波函数。上式即为非相对论性量子力学波动方程——Schrodinger方程。

Dirac方程可以从相对论性的质壳方程（ $p_\mu p^\mu=m^2c^2$ ）得到。此时的对应关系为： $p_\mu\to i\hbar\partial_\mu$ ，其中 $\partial_\mu\equiv\frac{\partial}{\partial x^\mu}$ ， $x^\mu$ 即为协变坐标，即：
$\partial_0=\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\ \partial_1=\frac{\partial}{\partial x},\ \partial_2=\frac{\partial}{\partial y},\ \partial_3=\frac{\partial}{\partial z}$

同理容易得到： $p^\mu\to i\hbar\partial^\mu$ ， $\partial^\mu\equiv\frac{\partial}{\partial x_\mu}$ 。

此处不详细推导Dirac方程，而是直接给出方程的形式： $i\hbar\partial\!\!\!/\psi-mc\psi=0$

其中 $a\!\!\!/\equiv \gamma^\mu a_\mu$ ， $\gamma^\mu$ 为 $4\times4$ 的Gamma矩阵， $\psi$ 是粒子波函数。粒子波函数是一个四分量列矩阵(four-element column matrix)，也称为双旋量(bispinor)或Dirac旋量(Dirac spinor)，记为： $\psi=\left( \begin{matrix} \psi_1\\ \psi_2\\ \psi_3\\ \psi_4 \end{matrix} \right)$

之所以不称它为向量或者矢量，是因为它的内积计算方法和矢量的不一致，在此不做详细介绍。

一般来说Gamma矩阵中存在相角，取不同的相角可以得到不同的Gamma矩阵表达形式。在此取标准Bjorken和Drell约定： $\gamma^0=\left(\begin{matrix}1&0\\0&-1\end{matrix}\right),\ \gamma^i=\left(\begin{matrix}0&\sigma^i\\-\sigma^i&0\end{matrix}\right)$

其中 $1$ 表示一个 $2\times2$ 的单位矩阵， $0$ 表示一个 $2\times2$ 的 $0$ 矩阵， $\sigma^i$ 表示Pauli矩阵（参考基本量子电动力学过程振幅计算（三））。

反对易子定义为 $\{A,B\}\equiv AB+BA$ ，得到Gamma矩阵的反对易关系： $\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}=2g^{\mu\nu}$

其中 $g^{\mu\nu}$ 就是Minkowski度规。

Dirac方程的平面波解

设平面波解的形式为 $\psi(x)=ae^{-i k\cdot x}u(k)$ 。

其中 $k^\mu$ 为四矢量， $x^\mu$ 为逆变坐标， $k\cdot x$ 为它们的内积 $k\cdot x=k^\mu x_\mu$ ， $u(k)$ 为关联双旋量(associated bispinor)，写为 $u(k)=\left(\begin{matrix}u_A\\u_B\end{matrix}\right)$ 。

详细解法可以参考相关文献，最终得到四矢量 $k^\mu$ 和四动量 $p^\mu$ 的关系为 $k^\mu=\pm p^\mu/\hbar$ 。其中正号对应正粒子，负号对应反粒子。除此之外还需要一个归一化常数，采用Halzen和Martin关系 $u^\dagger u=2E/c$ ，得到归一化常数为 $N=\sqrt{(E+mc^2)/c}$ 。于是得到四个平面波解：

（1）当 $u_A=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$ 时， $u^{(1)}=N\left(\begin{matrix}1\\0\\\frac{cp_z}{E+mc^2}\\\frac{c(p_x+ip_y)}{E+mc^2}\end{matrix}\right)$ ，对应自旋向上的粒子；

（2）当 $u_A=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$ 时， $u^{(2)}=N\left(\begin{matrix}0\\1\\\frac{c(p_x-ip_y)}{E+mc^2}\\\frac{cp_z}{E+mc^2}\end{matrix}\right)$ ，对应自旋向下的粒子；

（3）当 $u_B=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$ 时， $u^{(3)}=N\left(\begin{matrix}\frac{c(p_x-ip_y)}{E-mc^2}\\\frac{cp_z}{E-mc^2}\\0\\1\end{matrix}\right)$ ，对应自旋向下的反粒子；

（4）当 $u_B=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$ 时， $u^{(4)}=N\left(\begin{matrix}\frac{cp_z}{E-mc^2}\\\frac{c(p_x+ip_y)}{E-mc^2}\\1\\0\end{matrix}\right)$ ，对应自旋向上的反粒子。

最终得到正粒子波函数为 $\psi=ae^{-ip\cdot x/\hbar}u$ ，反粒子的波函数为 $\psi=ae^{ip\cdot x/\hbar}v$ 。另外可以得到正粒子关联双旋量满足的动量空间Dirac方程(the momentum space Dirac equation)是 $(p\!\!\!/-mc)u=0$ ，反粒子的关联双旋量满足的动量空间Dirac方程是 $(p\!\!\!/+mc)v=0$ 。