这部分主要式介绍Dirac方程及其相关内容，最终得到正反电子自旋向上和向下的旋量。

Dirac方程是描述自旋为的费米子波函数随时间演化的相对论性波动方程，由Dirac在1928年提出。它的平面波解有四个，分别对应正反费米子自旋向上和向下的四种情况。

Dirac方程

在牛顿力学中，质点能量和动量的关系由描述。

其对应的量子力学波动方程可以通过对应关系得到。对应关系为：， 。从而得到：

其中为含时波函数。上式即为非相对论性量子力学波动方程——Schrodinger方程。

Dirac方程可以从相对论性的质壳方程（）得到。此时的对应关系为：，其中，即为协变坐标，即：

同理容易得到：，。

此处不详细推导Dirac方程，而是直接给出方程的形式：

其中，为的Gamma矩阵，是粒子波函数。粒子波函数是一个四分量列矩阵(four-element column matrix)，也称为双旋量(bispinor)或Dirac旋量(Dirac spinor)，记为：

之所以不称它为向量或者矢量，是因为它的内积计算方法和矢量的不一致，在此不做详细介绍。

一般来说Gamma矩阵中存在相角，取不同的相角可以得到不同的Gamma矩阵表达形式。在此取标准Bjorken和Drell约定：

其中表示一个的单位矩阵，表示一个的矩阵，表示Pauli矩阵（参考基本量子电动力学过程振幅计算（三））。

反对易子定义为，得到Gamma矩阵的反对易关系：

其中就是Minkowski度规。

Dirac方程的平面波解

设平面波解的形式为。

其中为四矢量，为逆变坐标，为它们的内积，为关联双旋量(associated bispinor)，写为。

详细解法可以参考相关文献，最终得到四矢量和四动量的关系为。其中正号对应正粒子，负号对应反粒子。除此之外还需要一个归一化常数，采用Halzen和Martin关系，得到归一化常数为。于是得到四个平面波解：

（1）当时，，对应自旋向上的粒子；

（2）当时，，对应自旋向下的粒子；

（3）当时，，对应自旋向下的反粒子；

（4）当时，，对应自旋向上的反粒子。

最终得到正粒子波函数为，反粒子的波函数为。另外可以得到正粒子关联双旋量满足的动量空间Dirac方程(the momentum space Dirac equation)是，反粒子的关联双旋量满足的动量空间Dirac方程是。

定义伴随旋量：

得到伴随旋量对应的动量空间Dirac方程，其中正粒子为，反粒子的为。