几道微分方程题

几道微分方程题

作者: Raow1 | 来源:发表于2021-07-13 00:21 被阅读0次

几道微分方程题
几道题
几道题
对四道题的看法
2019-08-15
几道算法题
几道注入题
平成30/2
不懂装懂，学会倾听
2019-10-16 基础面试题

13. 求欧拉方程： $x^2y''+xy'-25y=0$

令 $x=e^t$ ，

原方程化为 $D(D-1)y+Dy-25y=0$

即， $D^2y-25y=0$ 。此方程为二阶常系数齐次线性常微分方程。

其特征方程为， $r^2-25=0$

所以， $r=\pm 5$

所以，易得 $y=C_1e^{5t}+C_2e^{-5t}$

即， $y=C_1x^5+\frac{C_2}{x^5}$

14. 求一阶线性微分方程： $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}-4\frac{y}{x}=x^3$

直接代入一阶线性微分方程的求解公式： $y=e^{- \int P(x) \mathrm dx} (\int Q(x) e^{\int P(x) \mathrm dx} \mathrm dx +C)$

容易解得， $y=x^4(\ln x +C)$

15. 求一阶微分方程： $(6\frac{\ln x}{x^2}-5x^3\cos y)\mathrm dx+x^4\sin y \mathrm dy=0$

令 $P(x,y)=6\frac{\ln x}{x^2}-5x^3\cos y$

$Q(x,y)=x^4\sin y$

则， $\frac{\partial P}{\partial y}=5x^3\sin y$

$\frac{\partial Q}{\partial x}=4x^3\sin y \neq \frac{\partial P}{\partial y}$

容易知道，积分因子 $\mu (x) =x$ 能使原方程变为恰当方程。

所以方程两边同乘 $\mu (x)=x$

得 $(6\frac{\ln x}{x}-5x^4\cos y)\mathrm dx+x^5\sin y \mathrm dy=0$

令 $R(x,y)=6\frac{\ln x}{x}-5x^4\cos y$

$S(x,y)=x^5\sin y$

则显然有， $\frac{\partial R}{\partial x}=5x^4\sin y = \frac{\partial S}{\partial y}$

所以存在 $u(x,y)=C$ ，满足上述微分方程，且 $\frac{\partial u}{\partial x}=R, \frac{\partial u}{\partial y}=S$

由 $\frac{\partial u}{\partial x}=R=6\frac{\ln x}{x}-5x^4\cos y$

易得， $u(x,y)=\int R\mathrm dx=3\ln ^2x-x^5\cos y+\varphi(y)$

所以， $\frac{\partial u}{\partial y}=x^5\sin y + \varphi '(y)=S$

所以， $\varphi ' (y)=0$ ， $\varphi (y)=c_1$

代入可得， $u(x,y)=3\ln ^2x-x^5\cos y+c_1$

所以，微分方程的解为， $3\ln ^2x-x^5\cos y=C$

16. 利用参数法求： $y=2+\ln [1+(\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx})^2]$

令 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\tan t$

所以， $y=2+\ln(\sec^2t)$

两边同时求微分，所以有 $\mathrm dy=2\tan t \mathrm dt$

又因为 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\tan t$

所以， $\frac{2\tan t \mathrm dt}{\mathrm dx}=\tan t$

所以， $t=\frac{1}{2}x+C$

代入 $y=2+\ln(\sec^2t)$

即得， $y=2+\ln(\sec^2(\frac{1}{2}x+C))$

17. 利用降阶法求： $(y+1)y''+(y')^2=0$

显然是不显含 $x$ 的方程，令 $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=p$

则， $\frac{\mathrm d ^2 y}{\mathrm d x^2}=p\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}$

原式转化为， $(y+1)p\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}+p^2=0$

即， $(y+1)\frac{\mathrm dp}{\mathrm dy}=-p$ 显然为可分离变量的微分方程

容易求得， $p=\frac{c_1}{y+1}$

即， $\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=\frac{c_1}{y+1}$ 也为可分离变量的微分方程

易得， $\frac{1}{2}y^2+y=c_1x+c_2$

相关文章

几道微分方程题
13. 求欧拉方程：令，原方程化为即，。此方程为二阶常系数齐次线性常微分方程。其特征方程为，所以，所以...
几道题
简单记录一些之前遇到的题目。 1.写出trottle和debonce函数, 2.写出Number.MAX_VALU...
几道题
对四道题的看法
为了参加中考复习研讨会，研究了几道题：这几道题是复习资料中对应2018年中考真题中23题的，在我看来这几道题并没...
2019-08-15
做了几道选择题
几道算法题
最近在面试的过程中，遇到了很多手写代码的情况，我是真的不会写算法题，但是常见的还是要总结一下。 1.快速排序这个...
几道注入题
学习笔记 UpdateXml() MYSQL显错注入实验吧加了料的报错注入 https://blog.csdn...
平成30/2
第1题线性代数微分方程组矩阵的特征值、特征向量对角化（正则矩阵=？正交矩阵、对角矩阵）微分方程的求法第2...
不懂装懂，学会倾听
“儿子，今晚咱挑战几道数学题吧，看看能做对几道？"儿子看了一眼题，“这么简单，我要挑战压轴题。就做这道吧” 于是儿...
2019-10-16 基础面试题
面试的几道题分享给大家答案

网友评论

本文标题：几道微分方程题

本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/ytxjpltx.html

延伸阅读

深度阅读

您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

栏目导航

如切如磋,如琢如磨

热点阅读

我的大学

简友广场

如切如磋,如琢如磨

关于我们|服务条款|联系我们|几道微分方程题|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网版权所有

备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！