关于推理2--《数学基本思想18讲》9

今天读第十讲《数学推理的基础》

1.数学最基本的表达方式是定义和命题：数学定义述说了数学的研究对象，数学命题述说了数学的研究结果。如果数学抽象主要是建立数学定义、关系以及运算法则的思维过程，那么数学推理就是建立数学命题以及验证数学命题的思维过程。

2.定义、命题、推理之间的关系，《墨经·小取》这段话言简意赅：“以名举实，以辞抒意，以说出故”。通过定义（名）明确讨论问题的对象（实），通过命题（辞）表述所讨论问题的实质（意），通过论证（说）得到所讨论问题的缘由（故）。

3. 命题是一个可供真假判断的陈述语句。数学命题必须提供判断。数学命题只能提供判断。

虽然数学命题的陈述句必须提供判断，但数学命题本身却不承担判断真假的职责，判断真假是数学推理的任务。

4.数学命题的主观性与客观性是针对思想者而言的：如果命题是思想者正在思想的东西，或者是思想者思想的结果，那么数学命题就是主观的；如果数学命题的存在与思想者无关，数学命题只是思想者要判断的已经存在的东西，那么数学命题就是客观的。

5.罗素说：命题就是可以有意义地加以断定或否定的东西。这样命题就有了客观性。

如果为了得到数学命题，那么数学命题就是主观的，因为这时的数学命题是思想者思想的结果；如果是为了验证数学命题，那么数学命题就是客观的，因此这时的数学命题是思想者思想的对象。

6.数学推理就是从一个数学命题判断到另一个数学命题判断的思维过程。数学命题分为两类，一类命题的陈述内容只涉及研究对象本身的性质，称为性质命题；还有一类命题的陈述内容涉及多个研究对象之间的关系，称之为性质命题。