1-3 周期，频率和离散正弦信号

作者: TalktoEason | 来源:发表于2019-06-13 22:34 被阅读0次

正弦信号公式： $x_a(t) = A \cos(\Omega t +\theta)$ .
A: 振幅
Ω: 角频率 (rad/s)
θ: 相位
T: 周期，T=1/F
F: 频率(Hz), $\Omega = 2 \pi F$
欧拉恒等式: $e^{±j\phi} = \cos \phi ± j \sin \phi$
正弦信号的复指数形式： $x_a(t) = A e^{j(\Omega t + \theta )}$
这个公式实际上扩展了原公式的维数。这个公式描述了一个以原点为圆心的匀角速度转动的复数向量，这个向量在实轴上的投影就是一个实数域的正弦波。
实际上，原信号等于两个等幅的共轭指数信号相加： $x_a(t) = A \cos (\Omega t + \theta) = \frac A2 e ^{j(\Omega t + \theta )} + \frac A2 e ^{-j(\Omega t + \theta )}$
复指数信号将频率扩展到负数，负数的频率在复平面上表示向量是反方向转动的，但在实域投影中，他等同与对应正数信号。
离散时间正弦信号就是数字化采样的正弦信号。 $x(n) = A \cos (\omega n + \theta)$
f: 频率， $\omega \equiv 2 \pi f$ ，每样本的周期数。e.g. 16kHz采样率的1kHz正弦波信号，f=1/16 但实际上通常还是使用模拟信号对应的频率F.
离散时间正弦信号的周期性指若干周期后，有相同取值的样本出现。这和模拟正弦信号的周期性不能混同，所有模拟正弦信号都是周期性的。
周期性离散正弦信号满足 $x(n+N) = x(n)$ , N(>0)为周期，N的最小值称基础周期。
周期性的离散正弦信号要求f是有理数。
离散性导致同一组离散信号可能由不同的模拟信号采样而来。极端情况下16kHz采样率下，8kHz (f = 1/2) 0相位正弦波和 24kHz 0 (f = 3/2)相位正弦波实际上有一样的离散信号（A, -A点间隔）. 因此离散正弦波并不能完全一一等同与模拟正弦波，而是表示一组模拟正弦波。
对于整数k， $\omega_k = \omega_0 + 2k \pi$ ，这些波都是相同的，也即有 $f_k = f_0 + k$ ，通常取 $|\omega_0| < \pi$ , 即 $|f_0| < 1/2$ 为频率的主值区间。而负数频率通常等同于对应的正数频率波形，因此推断：采样率fs的离散信号，最多只能有效表达fs/2频率以内的正弦波信号。
对于任意周期( $T_p$ )连续信号 $x_a(t)$ ,，可以展开为傅里叶级数： $x_a(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty e^{jk\Omega_0t}, (k=0, ±1, ±2 ...)$ ，其中 $s_k(n)=e^{j2 \pi k f_0 n}$ 被称为 $x_a(t)$ 的第k次谐波。每个谐波周期都是 $T_p$ 的整数分之一倍，并且和原波形保持线性关系。这个级数是无限长的。
对应到周期为N的离散信号，有 $s_k(n) = e ^{j2 \pi k f_0 n}$ ，其中k为整数. 如果取 $f_0=1/N$ ，由于频率为k/N和(k+N)/N的两个波在此离散信号中实际相等，可知 $s_k(n)$ 总共只有N种不同的谐波，即k取值[0, N), $x(n)=\sum_{k=0}^{N-1}c_ks_k(n)$ 。离散信号的傅里叶级数是有限长的。
考虑采样率fs的信号，若做对N长度的离散信号序列做傅里叶级数展开，其对应的谐波可以有0, 1/N， 2/N ... (N-1)/N种，对应的连续信号主频率分别为0 (常量)，fs/N，2fs/N, ... (N-1)fs/N。
考虑到kf0和(k-N)f0的离散波实际等同，可将k取值[0, N/2) [-N/2, 0), （后一半减去N）。则对应连续波主频为[0, fs/2)和[-fs/2, 0)，对应与FFT变换后各个Band的频率值，并且由于负值频率的定义，可知后一半频率的波形实际也和前一半频率的波形等同。

1-3 周期，频率和离散正弦信号

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