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微积分定理简单说就是，微分和积分互为逆运算。
曲线下的面积
为什么会有微积分这种折磨人的东西？这个要从求函数曲线下面的面积说起。
对于曲线函数，怎么求这条曲线下面[a,b]区间内的黄色面积？
如果这个面积是矩形、梯形或者三角形，圆形之类都有公式可以用。但有没有想过是否可以发明一种通用的方法，能够求任何曲线函数下面某区间面积？
积分定义
数学家黎曼想出了一个办法，看下图。
这就把原本求连续曲线下面积转换为求n个竖着的小长方形面积之和。当n趋近于无穷大的时候，这些小长方形面积之和就等于曲线下的区间面积。
如上图所示，假设为区间
上任意一点，每个长方形的面积都可以表示为
。
所以积分的定义就是：
即n趋近于无穷大的时候无数个长方形组成的曲线下的面积。
正式的写作：
这个大波浪号可以读作积分，或者英文Integrate。
提示，这里的z虽然图上标识为
的中点，实际上可以是其中任意一点，即使是
也没问题，因为在极限的情况下，这个长方形会无限的窄，
积分和微分
如果我们把黄色区域视为一个因变量,那么我们能否找到一个函数来表现
随着
增大而发生的变化呢？
如上图所示，我们假设就是找到的面积函数，它表示了黄色面积随着x增大而发生的变化：
- x从1到2，面积增加3；
- x从2到3，面积增加5；
- x从3到4，面积增加3；
...
有了我们就可以用
求出左侧图中黄色任意区间的面积。
微积分定理
微积分定理说，上图中，曲线的切线函数就是左侧的
。
为什么呢？
回到开始的那张图：
这是用来说明微分的，微分就是求导数，导数就是曲线的斜率slope，图里面斜率就是∠bac的正切值，就是：
再对应到这个图，dy就是面积的变化。
所以我们有：
我们观察右图的斜率变化，对照左侧
的曲线变化，也可以看到两者是一致相符合的。
你看到了吗？右侧斜率逐渐变大再逐渐变小，左侧y值也是逐渐变大然后逐渐变小。
微积分定理的数学证明
微积分互为逆运算，的导数函数就是
。
对于函数在区间[a,b]上连续不断，如果
这里使用
只是避免和
混淆。
那么假设有一点,用
和
两个区间面积的差可以求到
区间的面积，也可以从
做减法求得，所以有：
另外，在区间上一定可以找到某点
可以满足：
这是积分中值定理的直接解释和应用。
然后我们再结合微分斜率的定义，如下图，如果越来越小，最终
将趋近于h。
根据上图有：
因为上面已经有:
所以有：
既然无限趋近于0，那就相当于是
无限趋近于
，即
。
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