日月运行

一

今天视角，周公与商高谈的是基础数学，荣方与陈子谈的是应用数学。书中，对话部分当属综合内容，剩余部分乃专题了。

专题，起于“七衡图”。书中的图，只是样式，应有单独载图的实物。怎见得？

“凡为此图，以丈为尺，以尺为寸，以寸为分（分∶一千里）。凡用繒，方八尺一寸。今用繒，方四尺五分（分为二千里）。

吕氏曰：凡四海之内，东西二万八千里，南北二万六千里。”

按上述所言，此图为方形，边长81寸，以合天的直径81万里。“今用”小了一半，即改边长为40.5寸。相应地，比例尺由一分比一千里而变一分比二千里了。

“今用”，当秦王政八年后的某个时期。这是因为：《吕氏春秋》成书于此年，其“有始览”确有：“凡四海之内，东西二万八千里，南北二万六千里。水道八千里，受水者亦八千里……”显而易见，《周髀》成书于《吕氏春秋》之后了。

二

“凡为日月运行之圆周，七衡周而六间，以当六月，节六月为百八十二日八分日之五。”

解析：基于夏至日道、冬至日道、春秋分日道，而均衡地加4个圈。日月往返运行，单程需六个月、大约180天。

“故日夏至在东井极内衡，日冬至在牵牛极外衡也。衡复更，终冬至，故曰：一岁三百六十五日四分日之一，岁一内极一外极；三十日十六分日之七，月一外极一内极。”

解析：东井为南方七宿的第一宿，牵牛为北方七宿的第二宿。太阳在夏至那天从东井处入最里面的圈，在冬至那天从牵牛处入最外面的圈。往返一次，大约365天，由内向外转一来回。大约30天，月亮由外向内转一来回。

“是故，一衡之间，万九千八百三十三里三分里之一，即为百步。”

解析：已知内圈到外圈为十一万九千里，且三分之一为一百步，求衡间距，算式如下：

“欲知次衡径，倍而增内衡之径。二之，以增内衡径，次衡放此。”

解析：以北极五星为圆心，若依次计算各衡直径，则以前衡直径加二倍的衡间距，如此即可。

“内一衡，径二十三万八千里，周七十一万四千里。分为三百六十五度四分度之一，度得一千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三。

次二衡，径二十七万七千六百六十六里二百步，周八十三万三千里。分里为度，度得二千二百八十里百八十八步千四百六十一分步之千三百三十二。

次三衡，径三十一万七千三百三十三里一百步，周九十五万二千里。分为度，度得二千六百六里百三十步千四百六十一分步之二百七十。

次四衡，径三十五万七千里，周一百七万一千里。分为度，度得二千九百三十二里七十一步四千百六十一分步之六百六十九。

次五衡，径三十九万六千六百六十六里二百步，周百一十九万里。分为度，度得三千二百五十八里十二步千四百六十一分步之千六十八。

次六衡，径四十三万六千三百三十三里一百步，周百三十万九千里。分为度，度得三千五百八十三里二百五十四步千四百六十一分步之六。

次七衡，径四十七万六千里，周百四十二万八千里。分为度，度得三千九百九里一百九十五步千四百六十一分步之四百五。”

解析：直径乘三为周长。那么，为何“分里为度”？今天看，不妨理解为有关“弧”的求法。

三

“其次曰，冬至所北照过北衡十六万七千里，为径八十一万里，周二百四十三万里。分为三百六十五度四分度之一，度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七。”

解析：依七衡分里为度的做法，对天也分里为度。

“过此而往者，未之或知。或知者，或疑其可知，或疑其难知。此言上圣不学而知之。

故冬至日晷丈三尺五寸，夏至日晷尺六寸。冬至日晷长，夏至日晷短，日晷损益寸差千里。故冬至夏至之日，南北游十一万九千里，四极径八十一万里，周二百四十三万里。分为度，度得六千六百五十二里二百九十三步千四百六十一分步之三百二十七，此度之相去也。”

解析：上文前段话的语气，与本书行文风格不符；后段话重复已有数据。故判断为先于赵婴的注文，而混同原文。

“其南北游日六百五十一里一百八十二步一千四百六十一分步之七百九十八。

术曰：置十一万九千里为实，以半岁一百八十二日八分日之五为法，而通之。得九十五万二千为实，所得一千四百六十一为法，除之。实如法得一里，不满法者三之；如法得百步，不满法者十之；如法得十步，不满法者十之；如法得一步，不满法者，以法命之。”

解析：上文前段话，当属“其次曰”段的文字，即末尾一句话；后段话，给出“分里为度”的方法，并以“南北游”为例。这里，按“术曰”，逐层次列算式，如下：

（一）原式

（二）通之

（三）变式

（四）实如法得651里，不满法者三之。

（五）如法得100步，不满法者十之。

（六）如法得80步，不满法者十之。

（七）如法得2步，不满法者以法命之，而有“一千四百六十一分步之七百九十八”。相应地，以上计算结果，整数部分合起来，则有“六百五十一里一百八十二步”。

最后，必须指出：各衡及天的分里为度，求法与“南北游”相同。但是，不是置半径为实而是置周长为实，不是以半岁为法而是以岁为法。当然了，无论置什么为实、以什么为法，都背离了公认的弧度等于弧长除以半径的思维定式。