空间解析几何(向量)

作者: 叶一湫 | 来源:发表于2020-04-28 08:50 被阅读0次

1.向量的定义

空间中具有一定长度和方向的线段称为向量。没有长度也没有方向的定义为零向量。以A为起点B为终点的向量记作 $\vec {AB}$ ,或者简记 $\vec a$ 。

向量的长记作 $\mid \vec a \mid$ ,也叫向量的模。
有两个向量 $\vec a$ 和 $\vec b$ ,若满足：① $\mid \vec a \mid$ = $\mid \vec b \mid \quad$ ② $\vec a // \vec b\quad$ ③ $\vec a , \vec b$ 指向同一侧，则称为 $\vec a= \vec b$ 。
长度为1称为单位向量，用 $\vec a^0$ 表示， $\vec a^0= \frac {\vec a} {\mid \vec a \mid } =\left \{ \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma \right\}$ 。

向量的和、差满足平行四边形法则，这可以从下图及坐标计算中给出证明。

平行四边形法则
向量与数字的乘法，其规则与一般数字相乘规则相同。
数量积：其结果为一数字， $\vec a \cdot \vec b=|\vec a||\vec b| \cos(\widehat{a,b})$ 。为什么是这个公式？据说是人们在研究力做功时发现：同样大小的力，方向不同得到的功却不同,如果纯粹用数量表示功,那么就得不到对功的一个统一的表达式,而且对每一个式子都要再用文字说明力和位移是什么方向，也就是说数量积的表达式是为了解决问题方便而引入的。
向量积：其结果为一向量，记作 $\vec a × \vec b=\vec c$ ,共有三条性质：
① $|\vec c|=|\vec a||\vec b|\sin(\widehat{a,b})$ ,其数值的几何意思是平行四边形的面积。
② $\vec c \perp \vec a,\vec c \perp \vec b$
③ $\vec c$ 的正向满足右手螺旋法则，即四个手指从 $\vec a$ 以不超过 $\pi$ 的角度转向 $\vec b$ 时，大拇指的指向。据说是从物理学的力矩概念引申来的。
混合积： $(\vec a × \vec b) \cdot \vec c$ 的结果为数量，常记作 $[\vec a , \vec b, \vec c]$ 。其几何意义是所组成平行六面体的体积。

设： $\lambda,\mu$ 为数量。

交换律： $\vec a + \vec b=\vec b+\vec a,\lambda\vec a=\vec a \lambda,\vec a \cdot \vec b=\vec b \cdot \vec a$ ;就是左右交换位置。
结合律： $(\vec a +\vec b)+\vec c=\vec a +(\vec b+\vec c),(\lambda \mu)\vec a=\lambda( \mu\vec a),\lambda(\vec a \cdot \vec b)= (\lambda \vec a) \cdot \vec b=\vec a \cdot (\lambda \vec b),$
$\lambda(\vec a× \vec b)= (\lambda \vec a) ×\vec b=\vec a × (\lambda \vec b)。$
分配律： $(\lambda+\mu)\vec a=\lambda \vec a+\mu \vec a,\lambda(\vec a+\vec b)=\lambda\vec a+\lambda\vec b,(\vec a+\vec b)\cdot \vec c=\vec a \cdot \vec c+\vec b \cdot \vec c,$
$(\vec a+\vec b)×\vec c=\vec a × \vec c+\vec b × \vec c。$

需要记住的是特殊的情况：

叉乘： $\vec a × \vec b=-\vec b × \vec a，$ 大小相同，方向相反。
连续点积： $(\vec a \cdot \vec b \cdot \vec c), \vec a \cdot (\vec b \cdot \vec c)$ 通常情况下是不相等的。

设向量 $\vec a$ 起点A的坐标 $(x_1,y_1,z_1)$ ,终点B的坐标 $(x_2,y_2,z_2)$ ，则有 $\vec a=\vec {AB}=\{x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1\}$ 。
设 $a_x=x_2-x_1,a_y=y_2-y_1,a_z=z_2-z_1$ ，称 $a_x ,a_y ,a_z$ 为相应坐标轴上的投影。
又设 $\vec i、\vec j、\vec k$ 依次为与X、Y、Z轴正向一致的单位向量，则 $\vec a =a_x \vec i + a_y \vec j+ a_z \vec k$ 。

单位向量实质是起到一个比例尺的作用。

设 $\vec a=\{a_x ,a_y ,a_z \} ，\vec b=\{b_x ,b_y ,b_z \} ，\vec c=\{c_x ,c_y ,c_z \}$ ，则：

$\vec a \pm \vec b=\{a_x \pm b_x，a_y \pm b_y，a_z \pm b_z \}$
$\lambda \vec a=\{\lambda a_x ，\lambda a_y ，\lambda a_z \}$
$\vec a \cdot \vec b=\{a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z \}$
$\vec a × \vec b= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} =(a_y b_z-a_z b_y)\vec i - (a_x b_z-a_z b_x) \vec j+(a_x b_y-a_y b_x)\vec k$
$[\vec a \; \vec b \; \vec c] =(\vec a × \vec b) \cdot \vec c= \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} b_y & b_z \\ c_y & c_z \end{vmatrix} a_x - \begin{vmatrix} b_x & b_z \\ c_x & c_z \end{vmatrix} a_y+ \begin{vmatrix} b_x & b_y \\ c_x & c_y \end{vmatrix} a_z$

$\vec a // \vec b \iff \vec a × \vec b =0 \iff \vec a = \lambda \vec b \iff \frac {a_x} {b_x}=\frac {a_y} {b_y}=\frac {a_z} {b_z}$
$\vec a \bot \vec b \iff \vec a \cdot \vec b =0 \iff a_x b_x+a_y b_y+a_z b_z=0$