矩阵（matrix）

一、矩阵相乘

一个最好记的方法就是，如A×B，A矩阵4×4，B矩阵4×3，则结果是一个4×3的矩阵，也就是新矩阵的行数由A决定，列数由B决定，所以可以用A的每一行去乘B的每一列，最终就是一个4×3的矩阵（其实就是每一行点乘每一列）

1、性质

（1）不满足交换律
通常情况下
A×B ≠ B×A
（2）满足结合律
(A×B)×C = A×(B×C)

二、特殊的矩阵

1、方块矩阵

方块矩阵（square matrix），简称方阵，是指那些行列数相等的矩阵，游戏中常用的就是3×3，4×4矩阵

2、对角矩阵

对角矩阵（diagonal matrix），是指除对角元素外其他位置都是0的方阵

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3、单位矩阵

对角元素都是1的矩阵被称为单位矩阵（identity matrix）。

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任何能与之相乘的矩阵都会得到原矩阵
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4、转置矩阵

转置矩阵（transposed matrix），实际上是对矩阵的一种运算名叫做转置运算

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性质
（1）矩阵转置的转置等于原矩阵
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（2）矩阵相乘的转置，等于每个矩阵的转置反向相乘
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5、逆矩阵

逆矩阵（inverse matrix），逆矩阵一定是个方阵，但是一个方阵不一定是逆矩阵，一个矩阵和它的逆矩阵相乘得到的是单位矩阵。

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如果一个矩阵有对应的逆矩阵，我们就说这个矩阵是可逆的，或是非奇异的，如果一个矩阵没有逆矩阵，则说它是不可逆的，或是奇异的。
当一个矩阵的行列式（determinant）不为0，那么这个矩阵就是可逆的（参见矩阵的行列式）
性质
（1）逆矩阵的逆矩阵是原矩阵
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（2）单位矩阵的逆矩阵是它本身
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（3）转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置
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（4）矩阵相乘的逆矩阵等于每个矩阵的逆矩阵反向相乘
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几何意义
逆矩阵是对某种变换的反向操作，公式可看出
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6、正交矩阵

正交矩阵（orthogonal matrix），是一种特殊的方阵，如果一个矩阵和它的转置相乘得到的是单位矩阵，那么我们就说这个矩阵是正交的（orthogonal），反过来依然成立。

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而矩阵和它的逆矩阵相乘也得到的是单位矩阵，所以如果一个矩阵是正交的，那么他的逆矩阵就是它的转置。如果一个矩阵是正交矩阵，那么他的转置也会是正交矩阵。
如何判定一个矩阵是不是正交矩阵：
根据正交矩阵的定义得知矩阵的转置乘原矩阵得到的是单位矩阵：
注：c1,c2,c3其实是代表矩阵每一行或列，毕竟矩阵相乘其实完全可以看成是两个向量做的点乘操作
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从而得知如下9个等式：
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由此而知只需满足以下条件即为正交矩阵：
（1）矩阵的每一行（列）为单位矩阵，这样他们的点积才能为1
（2）矩阵的每一行（列）之间相互垂直，这样他们的点积才能为0（夹角为90度）

三、矩阵的几何意义

1、变换（transform）

（1）线性变化（linear transform）
线性变换是指那些可以保留矢量加和标量乘的变换：

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如果对一个三维向量做线性变换，那么只需要一个3×3的矩阵就完全足够了
（2）仿射变换（affine transform）
仅仅有线性变换是不够的，还需要考虑平移变换，它不是线性变换，因为它满足标量乘，但不满足矢量加，所以需要引入仿射变换。放射变换就是合并线性变换和平移变换的变换类型，用一个4×4的矩阵表示，即把向量扩展到四维空间，也就是齐次坐标空间（homogeneouse space）。

常见的变换种类和它们的特性

2、齐次坐标（homogeneous coordinate）

因为3×3无法表示平移，所以增加了一个维度来表示平移，即齐次坐标。为每个矢量增加一项w分量：
（a,b,c,w）。对于一个点w=1，对于一个矢量w=0，这样在对点进行线性或非线性变换都会作用于这个点，如果是矢量，则平移不会起作用。

3、分解基础变换矩阵

分解后的矩阵格式

（1）左上角的3×3的矩阵用于线性变换
（2）右上角的3×1的矩阵用于平移
（3）左下角的1×3矩阵是一个0矩阵（0,0,0）
（4）右下角是1

4、平移矩阵

点平移

从上面的矩阵可看出，相当于在x，y，z方向上增加了tx,ty,tz的距离，即发生了平移。其实就是4×4的矩阵每一行组成的矢量与原矢量进行了的点乘操作：
（1,0,0,tx）·（x,y,z,1）=x+tx，其中w=1，即表示这是一个点，如果w=0则说明是一个矢量

矢量平移

我们可以法线如果是矢量平移，则并不会发生作用，这就是w的作用。
由此也可以看出平移矩阵并不是正交矩阵，因为它并不满足正交矩阵的两条要求。

平移矩阵的逆矩阵

5、缩放矩阵

点的缩放
矢量缩放
缩放的逆矩阵
当缩放系数相等（kx=ky=kz）时，被称为统一缩放（uniform scale），如果系数不相等则则称为非统一缩放。统一缩放不会改变角度和比例信息，非统一缩放会改变与模型相关的角度和比例。
注：以上的矩阵变换只适用于沿坐标轴方向进行缩放，如果想沿任意方向进行缩放，需要进行复合变换，先把缩放轴换成标准的坐标轴，然后再沿标准坐标轴进行缩放

6、旋转矩阵

绕着空间X轴旋转
绕着空间Y轴旋转
绕着空间Z轴旋转
旋转矩阵是正交矩阵，几个旋转矩阵串联同样也是正交的

7、复合变换

我们可以把平移、旋转、缩放组合起来，因为矩阵不满足交换律，所以乘法的顺序很重要，在大多数情况下我们约定变换顺序：先缩放，在旋转，最后平移。
变换的顺序不同会得到不同的变换结果，究其本质就是矩阵不满足交换律。