八皇后和约瑟夫问题

今天在写C语言报告的时候，收获了两种算法的实现，分别是八皇后和约瑟夫问题。

八皇后:
总的来说，八皇后问题就是一种backtrace算法的实例，通过不断的试探，如果遇到不满足的情况就回退一步，继续下一次的试探，直到试探完所有可能的结果。

在这个二维棋盘中，我们可以把二维数组压缩成一维数组。如a[i] = 4意味着棋盘中第i行的皇后放在了第4列。

判断皇后是否能够相互攻击到的方法是a[i] == a[j](列冲突)abs(i-j) == abs(a[i]-a[j])斜线冲突i.e.斜率为1/-1

void queen() {
    int i = 0, j = 0;
    
    while (i < N) {
        
        while (j < N) {
            if (is_valid(i, j)) {
                queens[i] = j;
                j = 0;
                break;
            }else {
                j++;
            }
        }
        
        if (queens[i] == INITIAL) {
            if (i == 0) {
                break;
            }else {
                --i;//trace back
                j = queens[i] + 1;
                queens[i] = INITIAL;
                continue;
            }
        }
        
        if (i == N-1) {
            printf("answer %d: \n", ++i);
            lyz_print();
            count++;
            --i;
            j = queens[i] + 1;
            queens[i] = INITIAL;
            continue;
        }
        i++;
    }
}

核心代码如上。每次都会试探第i行第j列是否可以放，如果可以就让queens[i] = j,j归零以便进行i+1行的试探。如果试探失败，说明需要回溯，从上一行的queens[i]+1列重新试探，同时让queens[i]回到初始值，因为初始值表明这一行还未找到合适的列。如果回溯到了第一行了，说明试探已经结束，算法可以退出。如果试探到了最后一行，说明已经找到了某个解，打印后回溯到上一行，以求解下一个。

精妙的位处理方法

核心代码:

int lim = (1 << 8) - 1;
int ans = 0;

void bit_queen(int row, int ld, int rd) {
    if (row == lim) {
        ans++;
        return;
    }
    int pos = lim & (~(row | ld | rd));
    while (pos) {
        int p = pos & (-pos);
        pos -= p;
        bit_queen(row+p, (ld+p)<<1, (rd+p)>>1);
    }
}

传入参数(0, 0, 0)，row中1代表已经放置了皇后的行，ld中1代表禁止放置的位置,rd同前。<</>>操作是因为对角线上的皇后可以互相攻击。lim & (~(row | ld | rd));是将放置了皇后的位置和禁位一起排除掉，所剩的1即为可以放置的位置。pos & (-pos);能取到pos最右边的1。pos-=p即为尝试这个最右边的1，然后进行递归。看是否能递归到row为全1，若递归到全1，则说明有这个解，若递归中途因为pos==0，就会自动退出，进行回溯(while循环),直到试探完所有，输出ans即为所有解的总和。

约瑟夫问题的数学优化

M个人数到N即出列的约瑟夫问题可以用一个一维数组，每次数到N时，就将这一位设为0,下一次数的时候跳过所有的0即可。也可以将数到的人从数组中删除，后面的项前移（太消耗时间，可以考虑用链表），剩下的人就是数组的第一个元素。

优化方法

剩下n个人时，要去除报数为m-1的人。编号为k=m%n人为0，将剩下的人按如下方式对应:k->0,k+1->1...n-1->n-1-k,0->n-k,1->n-k+1...k-2->n-2.在n-1个人中，某个存活的元素设为Xn-1,则它与Xn的关系为:

Xn
=(Xn-1 + k)%n
=(Xn-1 + m%n)%n
=((Xn-1)%n + (m%n)%n)%n
=((Xn-1)%n + m%n) % n
=(Xn-1+m) % n

BaseCase为X1=0。(我们用它验证一下m=3时X2=1。如果有两个人，轮流报数到2，则第二个人存活下来,结论正确).由此构造循环

for(i=2;i<=n;i++)  
{  
    s=(s+m)%i;  
}  

最后输出s即可。

顺便附上关于取模运算的一些公式（据说在数论和程序设计中都有很大用处):

(a+b)%p = (a%p + b%p) % p
(a-b)%p = (a%p - b%p) % p
(a*b)%p = (a%p * b%p)%p
a^b % p = ((a%p)^b)%p