96. 不同的二叉搜索树

题目描述

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解题思路

动态规划的思路，自底向上。
假设n个节点存在的二叉树个数为G(n)，令f(i)为以i为根节点的二叉树个数。
即有：G(n) = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n)。
当i为根节点时，其左子树个数为[1,2,3... i-1]构成的二叉搜索树的个数即G(i-1)，右边为[i+1, i+2, ... n]构成的二叉搜索树个数即G(n-i)，所以f(i) = G(i-1) * G(n-i)。

综上，G(n) = G(0) * G(n-1) + G(1) * G(n-2) + ... + G(n-1) * G(0)。
这里需要自底向上，计算G(1)，G(2)，...，G(n)。

int numTrees(int n){
      vector<int> dp(n+1, 0);
      dp[0] = 1;
      dp[1] = 1;
      // 计算G(2)...G(n)
      for(int i=2; i<=n; i++){
            // 计算f(1)...f(i)
            for(int j=1; j<=i; j++){
                  dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
            }
      }
      return dp[n];
}