中学与小学有很大的不同，对学生行为习惯和思维能力的要求很高，若不及时调整适应，随着学习的推进和深入，将会产生越来越大的影响。
奥地利著名的生物学家昆拉多·洛伦兹博士发现了著名的“关键期”理论，并因此荣获了诺贝尔奖金。所谓人类心理发展“关键期”理论是说：人类的某种行为和技能、知识的掌握，在某个特定的时期发展最快，最容易受环境影响。如果在这个时期施以正确的教育，可以收到事半功倍的效果；而一旦错过这一时期，就需要花费很多倍的努力才能弥补，或者将可能永远无法弥补。
《学记》中有：发然后禁，则扞格而不胜；时过然后学，则勤苦而难成；杂施而不孙，则坏乱而不修。这也是在说抓住教育教学的时机是多么重要。
初一新生刚进入中学，同样是一个适应新学习的关键期，若能抓住时机恰当引导，就能起到影响深远的作用。
众所周知，小学到中学是一次重要的变迁，学生会经历一次洗牌：有人脱颖而出，也有人急速坠落，有人稳步提升，也有人逐渐平庸。
特别是数学学科的学习，小学到初中的变化尤为明显。
其背后的原因是什么呢？
人的学习认知是一个复杂系统，影响的要素很多。
思想观念的问题，有心态情绪的问题，有行为习惯的问题，有思维方式的问题，当然也有智力素质的问题。
智力素质是一项短时间内无法明显改变的内在因素，这里不做讨论。
孩子们大多智力水平相近，但他们的学习成绩千差万别，主要是受到其它因素的影响。
其中思想观念潜在地控制着人的行为，心态情绪会引起人的心智损耗，这两个问题涉及到底层价值观和基本心理反应机制，要调整的话需要的时间比较长，不是能够快速见效，以后有时间再说。
学生亟需调整的是行为习惯和思维方式方面的问题，我们主要先从这里进行指导和训练。
首先引进一个学来的概念：全流程优化。
举个例子说明这个概念：普通人扔铅球与专业运动员扔铅球有什么区别？
普通人大多是动作简单仅仅利用了手臂的部分力量，并不能扔出最好的成绩。
而专业运动员有一套规范动作，先扭腰、沉裆、压腿，然后弹腰、旋转、蹬腿，再抬臂发力，这一套动作实际上是将腿力、腰力、臂力、腕力集中在一起瞬间爆发，扔出的距离远远超过普通人！
学习也是同理，要优化所有关键环节，对准目标集中力量才能有效提升效益。
学习包括理解知识、形成能力、获得智慧、解决问题等过程。
针对数学学科的学习和教学，分享几个关键点的具体做法和案例，希望帮助初一新同学更好地学好数学。
一、多感官多语言处理信息，帮助内化吸收
1.多感官传递信息
学生接受信息有不同的偏好，有视觉型、听觉型、动觉型等。老师对某个知识要点的讲解要照顾到各种不同类型的孩子，学生在听课学习时也要利用多种感官接收信息，这样便能产生好的教学效果。
例如教学“数轴”这一内容时，既要用语言说明数轴的特征和数轴的三个要素（照顾听觉型学生），也要在黑板上画出数轴并标注三个要素（照顾视觉型学生），还要让学生亲手画出正确的数轴（照顾动觉型学生）。
孩子的有意注意维持的时间和强度是有限的，教者不能认为只要自己说过了，孩子就听到了掌握了。对重要的知识点，老师要让学生听一遍、看一遍、说一遍、写一遍、操作一遍、解释一遍，这样的话学生的感官得到了充分的调动，学习效果会成倍提高。
2.多语言表达信息
中学数学比小学内容更复杂，表达更丰富，形式更多样，同样的东西可以用不同的语言来表达。数学语言主要有文字语言、符号语言、图形语言三种，熟练应用数学语言的三种形式可以帮助学生更好地思考和表达，强化对知识的理解和掌握。
如下例，教学中应用不同语言表达同一对象，多信号表征有利于对内容的理解和记忆，并能培养用数形结合的方法解决问题的意识。
文字语言
符号语言
图形语言
一个数是负数
a<0
数a的相反数
-a
表示x的点到表示1的点的距离
|x-1|
二、多角度全方位看待知识，促进深度理解
老师往往会抱怨：这个问题说过多少遍了学生还是不会！
老师要知道，说了学生未必听到，听到未必理解，理解未必记住，记住未必会用，会用未必做对，做对未必完美。不一定要求所有学生都要达到完美，但要为学生提供能够达成完美的机会和条件。
无论是对知识的记忆牢固程度还是对知识的灵活应用水平，其实都取决于对知识的理解深度。所谓理解，不过是某信息与其它信息的关联，关联越多越紧密则理解程度越深。
例如对数系的扩展，我作了下面的结构图：
这张图把各种运算的关系理清楚了，也把数系扩展的内部原因弄清楚了。
再如对“+”“－”号的理解，可以表示“加”和“减”，“多”和“少”，也可以表示“正”和“负”，还可以表示“本身”和“相反数”。
在多重符号的化简中，如+(-3)表示-3本身，所以+(-3)=-3；-(-3)表示-3相反数，所以-(-3)=3。
多重符号化简有三个层次的认识：
(1) –(+3)= ， +(–3)= ，+(+3)= ， - (–3)= ；
认识一：把“+”看作本身，“－”号看作相反数，可以求出结果。
认识二：从结果找规律，可以用“同号得正，异号得负”进行化简。
(2) –(+3)= ， +(–3)= ，– [– (–3)]= ， – {– [+(–3)]}= ；
(3) –(–3)= ， –[+(–3)]= ，– [– (+3)]= ， – {– [–(–3)]}= ；
认识三：从(2)(3)的结果找规律，发现只要根据“－”号的个数是奇数还是偶数，就可以确定结果的符号。即当“－”号有奇数个时结果为负，当“－”号有偶数个时结果为正。
再比如解题的思路方法也有多种角度。
如图，用相同的小正方形按某种规律进行摆放，则第10个图形中小正方形的个数是 .
此题经过讨论，学生想出了以下几种分割和计算方案：
由此学生就会深刻地领悟通过分割图形寻找计算方式得出规律的解题策略。
通过多角度思考和处理同一问题，学生就能对该问题进行多角度全方位地深入理解，更容易掌握和领悟其中的规律和方法。
三、标准化解题和思维动作，形成优良习惯
解题是一个严密精细的过程，越复杂的问题包含的环节越多，其中任何一个出现差错都会导致全盘皆错。所以要对解题的全部流程进行标准化操作，提升解题效率，减少无谓失误。
解题可以分为获取信息（审题）、处理信息（分析）、输出信息（解答）三个阶段。
获取信息要准确无误，处理信息要严谨有序，输出信息要清晰规范。
一般要求学生进行圈画标注，说出依据，分步完成。
圈画标注的习惯非常重要，据粗略统计，约三分之一的错误是因为审题不清造成的，适当的圈画标注可以使思维过程可视化清晰化，不再因为信息获取有误而犯错。当老师要求出错学生把题目仔细看清楚时，他们往往就已自行发现错误之处了。
明确解题依据也很重要，比如有的学生做|a|=6，得a=6，问他：你的依据是什么？绝对值的意义是什么？当他想起绝对值是表示数轴上的点到原点的距离时，会立刻知道应该左右两边各有一个。做题时要训练学生每步的解答都要能说出明确的依据，而不是单凭感觉随意地写出结果。
分步完成要求学生解题不要操之过急，忽略了推理计算的过程，在模糊不清的状态下导致结果出错。
例如，有的学生写3-(-3)=0，就是忽略了该有的思考步骤，在思维跳跃中产生了模糊和错觉，若能把计算步骤写完整就不会犯错：3-(-3)=3+3=6.
再举一例：如图(1)，小明将正方形纸片沿虚线对折得图(2)，再对折一次得图(3)，然后用剪刀沿图(3)中的虚线(虚线与底边平行)剪去一个角，再打开后的形状应是( )
解题时不要单靠凭空想像，而是利用图形逐步还原。
第一步，将图3沿着图(2)中的折痕翻折回去，得下图：
第二步，再将图形沿着图(1)中的折痕翻折回去，得下图：
这样就能思考有序，且保证准确无误。
四、训练抽象能力，培育核心素养
数学核心素养中最重要的是抽象能力，抽象能力决定着对数学知识的理解程度和应用层次。
例如下表中的数列，请学生说出每列数的排列规律。
第1列
第2列
第3列
第4列
第1行
1
4
5
10
第2行
4
8
10
12
第3行
9
12
15
14
…
…
…
…
…
通过观察并计算其规律为：第1列数是所在行数的平方，第2列数是所在行数的4倍，第3列数是所在行数的5倍，第4列数与8的差是行数的2倍。
解决复杂问题时，可以对问题进行简化抽象，得出一般规律后再解决。
例1.数轴上随意画一条2020个单位长度的线段，这条线段能覆盖 个整数点。
问题简化：在数轴上随意画出一条1个单位长度的线段，看它覆盖的整数点有什么规律？
规律总结：显然当线段长为1个单位时，可以盖住1个或2个整数点，同样的规律，当线段长为2020个单位时，可以盖住2020个或2021个整数点。
例2.按规律排出一列数11，13，15，17，19，……，其中211是第 个数.
简化探索：可以先看简单情况，数列1，3，5中，5是第几项，由于5比1多4，每多1个数增加2，所以数的总个数为4/2+1=3个，5是第3项。
抽象概括：等差数列的项数为（末项-首项）/公差+1，由此规律，211-11=200，200/2+1=101，即211是第101个数。
例3.数轴上在－100和200之间(包括－100和200)，表示整数的点有 个，表示奇数的点有 个．
思考一：本题可以应用例1的规律，线段的端点在－100和200时，线段长为300个单位，覆盖了301个整数点，其中两个端点都是偶数，所以偶数比奇数多1个，奇数点有300/2=150个，偶数点有151个。
思考二：也可以看成求奇数列的项数：-99，-97，-95，……，199.应用例2的规律得(199+99)/2+1=150，即奇数点有150个。
五、注重逻辑分析，升级思维方式
对于复杂问题必须用逻辑思维进行严密的推理分析才能快速得到准确结论，如果仍然用经验直觉思维解决复杂问题是低效和困难的。不少学生在小学阶段养成了随机的无序的思维方式，缺乏严谨的逻辑性，这样的思维方式若不改变将会给数学学习带来极为不利的影响，所以必须在教学中引导学生养成逻辑分析的意识，训练学生形成逻辑推理的能力。
逻辑思维的特点是确定性和条理性，确定性指通过逻辑分析必然能寻找到解题方法得到问题结论，条理性指思考过程合理有序易于理解和掌握。
例1.如图是分别用8根小棒搭成的小燕子和小鱼，只移动3根小棒，改变小燕子飞行的方向和小鱼游动的方向。
分析：很多学生的习惯处理方式是凭感觉进行多次尝试和试验，具有很大的随机性和不确定性，成功率低，速度慢，在很大程度上要靠运气得到正确答案。
高效的逻辑思考应该是：画出目标图形与已有图形比较，找出图形中相同的部分，要移动的小棒就是两个图形不同的部分。如下图：
图中正好有3根小棒不同，移动到相应位置即可。
越是复杂问题，对思维的逻辑性要求越高，只依靠直觉和经验，就会感到混乱无序，浪费很多时间，甚至没有办法解决。
例2.（1）比较下列各数大小：
|-4|+|5| |-4+5|；|-4|+|-5| |-4+(-5)|；
|4|+|-5| |4+(-5)|；|-4|+|0| |-4+0|.
（2）通过以上比较，请归纳出当a，b为任意数时，|a|+|b|与|a+b|的大小关系.
（3）根据（2）中得出的结论，当|x|+|2020|=|x-2020|时，x的取值范围是 .
分析：根据（1）中的比较，结合加法法则，同号两数相加时和的绝对值等于两个加数的绝对值相加，所以两边相等，异号两数相加时和的绝对值是等于两个加数的绝对值相减，因而绝对值变小。
（2）的解答注意分类讨论的条理性：
①当a、b同号（或其中一个数为0时），|a|+|b|=|a+b|；
②当a、b异号时，|a|+|b|>|a+b|；
综上可得，当a、b为任意数时，|a|+|b|≥|a+b|.
（3）的解答注意要联系（2）中的结论进行推导：
第一步：比较所给新式子|x|+|2020|=|x-2020|与前面已有式子|a|+|b|=|a+b|在结构上有何异同；
第二步：把所给式子转化成与（2）中结论结构相同的式子：|x|+|-2020|=|x+(-2020)|；
第三步：由（2）中结论知：式子成立的条件是x与-2000同号或为0，即x≤0.
例3.在1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数的前面添上“+”“－”号，如果可以使它们的和为n，就称数n是“可被表出的数”。如1是可被表出的数，因为1+2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9是1的一种可被表出的方法。
（1）试说明：7是可被表出的数，而8是不可被表出的数；
（2）求25可被表出的不同方法和种数.
分析：如果直接讨论把九个数添加“+”“－”号的情况，排列种类太多，问题非常复杂，而且缺乏确定性和条理性。
表出的数是正数时，其中正数和的绝对值比负数和的绝对值大，为了使问题简化，可以先求出负数的和，再讨论有多少种组合方式。
（1）设九个数中负数的和为x，则正数的和为7-x，因为九个数的和为45，所以7-x-x=45，得x=-19，添加“－”号和数和为19即可。易知1+2+(-3)+4+5+6+(-7)+8+(-9)=7，所以7是可被表出的数。
同理，若被表出的数是8，可得8-x-x=45，得x=-18.5，不是整数，所以8不可被表出。
（2）同（1）的方法，设九个数中负数的和为x，则正数的和为25-x，因为九个数的和为45，所以25-x-x=45，得x=-10，添加“－”号的数和为10即可。
若添加2个“－”号，有1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10；
若添加3个“－”号，有1+2+7=10，1+3+6=10，1+4+5=10，2+3+5=10；
若添加4个“－”号，有1+2+3+4=10.
综上可知，25共有9种表出方式。
逻辑分析让思维从感性走向理性，从偶然走向必然，大大提高思维效率和准确度。
六、抓重点缓加速，提升学习效率
小学阶段的学习内容简单，思维步骤少，学习节奏慢，到了中学以后要逐步加快速度提高效率，以适应新的学习需要。
但要注意这个提速过程是循序渐进的，若突然加速会让很多学生产生不适感，丧失对学习的信心和兴趣。
重点还是要抓住数学思维和学习习惯的训练，学习有章法，思考有条理，多总结，多表达，数学思维能力提升了，学习效率自然提升。
还要抓住学习内容中的关键点深入探究，强化对知识的理解深度和常规方法的应用意识，基础牢固了，方法熟练了，学习效率自然提升。
有一种毛竹前4年只长3cm，第5年后每天长30cm，只用6周就可以长15－20米！前4年是在长根，根系在地下延伸了数百平米，正是庞大的根系支持了枝干的快速生长！学生的思维发展前期要花时间积蓄、等待，这绝不是浪费时间，而是为后期的提速增效做好准备。
学生学习方式的优化和数学思维的训练是重中之重，知识学习只是习惯培养和思维训练的载体和工具。教学中要透过知识学习过程中产生的显性问题，发现和解决藏在背后的思维习惯和行为模式的隐性问题，这样才能使学生得到真正有效的提升。
任何改变都是痛苦的困难的，需要信念的支撑和智慧的引领，需要一个长期的磨炼过程，教育者要具备系统性思维，精心设计学习方案，耐心指导实践过程。正如《西游记》中的如来佛是一个真正的教育家，他对于顽劣的美猴王并不只是简单地进行说教和惩罚，而是为孙悟空设计了西天取经这一宏大的学习实践活动，才使其逐步脱离猴性和妖性，获得定力和智慧，最终去妄存真修成正果。
PS：之前连续几年带初三年级，本学期回到初一年级，正好从整体上梳理思考一下三年的教学规划，着手设计系统性的教学和训练方案，力争让学生从思维能力上有根本性的突破。
计划从道（思维）、术（方法）、器（模型）三个方面立体式设计教学内容，积累量变促发质变，整体性全方位提升学生数学能力。具体内容今后将不定期专栏发表分享，欢迎关注交流。
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