解析几何汇总——数学竞赛

作者: 抄书侠 | 来源:发表于2019-02-09 09:41 被阅读0次

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初赛

第一届：求经过三平行直线 $L_{1} : x=y=z$ ， $L_{2} : x-1=y=z+1, \quad L_{3} : x=y+1=z-1$ 的圆柱面方程
第二届：已知二次曲面 $\Sigma$ （非退化）过以下九点： $A(1,0,0),B(1,1,2)$ , $C(1,-1,-2),D(3,0,0),E(3,1,2),F(3,-2,-4)$ , $G(0,1,4),H(3,-1,-2),I(5,2\sqrt 2,8)$ 问 $\Sigma$ 是哪一类曲面？
第三届：已知四点 $A(1,2,7),B(4,3,3),C(5,-1,6),D(\sqrt 7,\sqrt 7,0)$ 试求过这四点的球面方程。
第四届：设 $\Gamma$ 为椭圆抛物面 $z=3x^2+4y^2+1$ 从原点作 $\Gamma$ 的切锥面，求切锥面方程。
第五届：平面 $\mathbb{R^2}$ 上两个半径为 $r$ 的圆 $C_1$ 和 $C_2$ 外切于 $P$ 点。将圆 $C_2$ 沿 $C_1$ 的圆周(无滑动)滚动一圈，这时， $C_2$ 上的 $P$ 点也随 $C_2$ 的运动而运动。记 $\Gamma$ 为 $P$ 点的运动轨迹曲线，称为心脏线。现设 $C$ 为以 $P$ 的初始位置（切点）为圆心的圆，其半径为 $R$ 。记 $\gamma:\mathbb{R^2}\cup\{\infty\}$ 为圆 $C$ 的反演变换，它将 $Q\in \mathbb{R^2/ \{P\}}$ 映成射线 $PQ$ 上的点 $Q',$ 满足 $\vec{PQ}·\vec{PQ'}=R^2$ 求证： $\gamma(\Gamma)$ 为抛物线
第六届：已知空间的两条直线 $\begin{aligned} l_{1} : & \frac{x-4}{1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z-8}{1} \\ l_{2} : & \frac{x+1}{7}=\frac{y+1}{-6}=\frac{z+1}{1} \end{aligned}$
(1)证明 $l_1$ 和 $l_2$ 异面
(2)求 $l_1$ 和 $l_2$ 公垂线的标准方程
(3)求连接 $l_1$ 上的任一点和 $l_2$ 上的任一点线段中点的轨迹的一般方程。
第七届：设 $L_1$ 和 $L_2$ 是空间中两异面直线。设在标准直角坐标系下直线 $L_1$ 过坐标为 $a$ 的点，以单位向量 $v$ 为直线方向；直线 $L_2$ 过坐标为 $b$ 的点，以单位向量 $w$ 为直线方向。
(1)证明：存在唯一点 $P\in L_1$ 和 $Q\in L_2$ 使得两点连线 $PQ$ 同时垂直于 $L_1$ 和 $L_2$
(2)求 $P$ 点和 $Q$ 点坐标(用 $a,b,v,w$ 表示)
第八届：设 $S$ 是空间中的一个椭球面，设方向为常向量 $V$ 的一束平行光线照射 $S$ ，其中的部分光线与 $S$ 相切，它们的切点在 $S$ 上形成一条曲线 $\Gamma$ 证明： $\Gamma$ 落在一张过椭球中心的平面上。
第九届：在平面直角坐标系中，设单叶双曲面 $\Gamma$ 的方程为 $x^2+y^2-z^2=1$ 。设 $P$ 为空间中的平面，它交 $\Gamma$ 于一抛物线 $C$ 求该平面 $P$ 的法线与 $z-$ 轴的夹角
第十届：在平面直角坐标系中，设马鞍面S的方程为 $x^{2}-y^{2}=2 z$ 。设 $\sigma$ 为平面 $z=\alpha x+\beta y+\gamma$ ,其中 $\alpha,\beta,\gamma$ 为给定常数。求马鞍面 $S$ 上点 $P$ 的坐标，使得过 $P$ 且落在马鞍面上的直线均平行于平面 $\sigma$

决赛

第一届：已知两直线的方程 $\mathrm{L} : x=y=z, L^{\prime} : \frac{x}{1}=\frac{y}{a}=\frac{z-b}{1}$
(1)问：参数 $a,b$ 满足什么条件时， $L$ 和 $L'$ 是异面直线
(2)当 $L$ 和 $L'$ 不重合时，求 $L'$ 绕 $L$ 旋转所生成的旋转面 $\pi$ 的方程，并指出曲面 $\pi$ 的类型
第二届：求出过原点且和椭球面 $4 x^{2}+5 y^{2}+6 z^{2}=1$ 的交线为一个圆周的所有平面。
第三届：设有空间中五点， $A(1,0,1),B(1,1,2),C(1,-1,-2),D(3,1,0),E(3,1,2)$ 试求过点 $E$ 且与 $A,B,C$ 所在平面 $\Sigma$ 平行而与直线 $AD$ 垂直的直线方程
第四届：设 $A$ 为正常数，直线 $l$ 与双曲线 $x^2-y^2=2(x>0)$ 所围的有限部分的面积为 $A$ ，证明：
(i)所有上述 $l$ 与双曲线 $x^2-y^2=2(x>0)$ 的截线段的中点的轨迹为双曲线。
(ii) $l$ 总是(i)中轨迹曲线的切线
第五届：设 $S$ 为 $\mathbb{R^3}$ 中的抛物面 $z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right), P=(a, b, c)$ 为 $S$ 外一固定点，满足 $a^2+b^2>2c$ 过点 $P$ 作 $S$ 的所有切线。证明：这些切线的切点落在同一张平面上。
第六届：设空间中定点 $P$ 到一定直线 $l$ 的距离为 $p$ 。一族球面中的每个球面都过点 $P$ ，且截直线 $l$ 得到的弦长都是定值 $a$ 求该球面族的球心的轨迹。
第七届：在空间直角坐标系中，设 $S$ 为椭圆柱面 $x^2 +2y^2=1,\sigma$ 是空间中的平面，它与 $S$ 的交集为一个圆。求所有这样平面 $\sigma$ 的法向量。
第八届：在空间直角坐标系中设旋转抛物面 $\Gamma$ 的方程为 $z=\frac{1}{2}(x^2+y^2)$ 设 $P$ 为空间中的平面，它交抛物面 $\Gamma$ 与曲线 $C$ 问： $C$ 是何种类型的曲线？证明你的结论。
第九届：在空间直角坐标系下，设有椭球面 $S:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, \quad a, b, c>0$ 及 $S$ 外部一点 $A(x_0,y_0,z_0)$ 过 $A$ 点且与 $S$ 相切的所有直线构成锥面 $\Sigma$ 。证明：存在平面 $\Pi$ 使得交线 $S\cap\Sigma=S\cap\Pi$ ；同时求出平面 $\Pi$ 的方程。