01 前情提要
故事开始，先让我们把时间退回到1630年，那时意大利科学家伽利略提出一个问题：
给定两点A，B（B不在A的垂直下方），若不计摩擦力，问这个质点在重力作用下沿着什么曲线从点A到点B滑下时间最短。
最速降线
很多人第一反应是连接AB做一条直线，而伽利略在研究了八年之后，在著作《论两种新科学》中认为这个曲线是圆弧。
虽然伽利略已经意识到了直线不是最优解，但很可惜圆弧也不是正确答案。
但他确实反映了一个正确的思维，就是在运动的前半部分我们应当尽可能的让这个质点获得更大的速度，而在运动的后半部分我们应该尽可能利用它已获得的高速走尽可能短的路程。
这波很明显你们在第一层，伽利略在第三层，而接下来的几个人在第五层
。（老千层饼了）
02 故事的开端
1696年，故事的主人公约翰·伯努利在看到了这个问题以后，钻研了足足两周，最终想出了一个绝妙的解法。
而约翰·伯努利提出这个问题的本意其实就是想挑战全世界的数学家。
而他挑战的人主要有两个，一个是他的哥哥雅各布·伯努利（他们俩是死对头），而另一个就是牛顿（莱布尼兹是约翰·伯努利的老师，莱布尼兹和牛顿的关系你懂的）
那时的牛顿已是晚年，正忙于造币局的事务，而当他得知自己被挑战时，熬了一个通宵的时间就把这道题解了出来.
最终，除了约翰·伯努利和莱布尼兹的答案，他还收到了雅各布·伯努利的答案，洛必达侯爵的答案，
还有一份匿名的答案，据说约翰·伯努利在看到这份匿名答案的时候说道:
"I recognize the lion by his claw"
03 纯数的解法
这五个人的答案最终都是旋轮线（又名摆线），在这道题里面我们称之为最速降线。
而除了约翰·伯努利外，他们几人都是用微积分来解决这道题的，不过这不是这篇文章的重点，想要了解具体解法可以看变分法解最速降线
步骤也不繁琐，先用物理条件求出运动曲线的泛函，再用变分法求最佳解泛函的积分表达式，再用偏微分的知识，求出最佳解泛函的偏微分表达式（欧拉方程式的特殊情况），最终用分离变量法解出有关和
的参数表达式。
也许看到这还不知道啥是旋轮线，百度上的定义是这样的:
摆线（Cycloid）被定义为，一个圆沿一条直线运动时，圆边界上一定点所形成的轨迹。
如果还不明白，可以点击此处自己模拟试试-->最速降线的绘制
04 约翰·伯努利令人啧啧称赞的解法
相信看了（没看）上述变分法的证明，大家都受益匪浅（头昏脑胀），接下来就给介绍一下约翰·伯努利的解法，看完之后你也许就会明白他为什么有底气挑战全世界了。
也许你已经从题目里发现了，伯努利的解法里面要用到光。
我们都知道光有着目前已知的最快速度，也知道光会反射和折射，甚至你知道snell's law (斯涅尔定律),但你知道为什么光的反射和折射呈现这样一种关系吗？
费马原理告诉了我们答案:
光线传播的路径是需时最少的路径。
为了加深记忆，来看下图的例子
从图片中可以看出，由于介质的速度比较大，根据费马原理，光在
介质的路程要长一些，这样在
介质中速度虽然慢但路程也会变短，因此只有
是有可能的。
换句话说，光在不同介质中的不同速度决定了它的折射。
因此，最速降线问题可以看成光的传播问题，我们可以知道这个质点在运动过程中的速度是不断变化的，因此，为了以最快的速度到达目的地，它必须沿着光的脚步。
而光是如何走的呢，又回到了斯涅尔定律上。它告诉我们
其中为光线和法线的夹角。
image
于此同时，通过能量守恒，我们又可以得知
因此有
等价于
再回归刚刚的折射问题，假如说我们现在穿过了8层介质（如下图所示）
image
每一层介质的交界处与轨迹的交点，都满足等式
这里的
同理，如果把这段路程划分为无数层介质，每层介质都足够薄，那轨迹上的每一个点都满足等式
其中由于每层介质足够薄，因此可以看成轨迹切线和法线的夹角
那为什么最速降线（摆线或旋轮线）满足这样的一个要求呢？看下面这个例子就明白了。
伯努利的解法
点此处自己试一试-->伯努利解法几何支撑
由于
因此
约翰·伯努利结合了光学的知识用简单的想法就解决了这么一道难题，不可不谓是天才。
05 最速降线模拟
在本文的最后，放上两个最速降线的物理模拟器，由geogebra实现，可以直观看出来最速降线是如何比其他速度曲线快的
最速降线速度比较（自制）
最速降线速度比较（他制）
最后，希望看到这的朋友可以关注我的微信公众号，理理 你的数学，上面会周更优质数学内容，期待你的关注！
网友评论