空间内一点到超平面的距离推广公式

作者: 倪桦 | 来源:发表于2023-02-16 20:52 被阅读0次

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超平面与法向量

超平面(H,Hyperplane) 是二维平面中直线、三维空间中平面对象的推广形式，本质是 $n$ 维空间的一个子空间，满足向量加法与乘法的封闭。空间中的平面都可以被平面上任意一点 $x_0$ 及与平面内任意向量所垂直的平面法向量 $\vec w$ 所确定：

定义空间内一超平面为 $H$
在平面上确定一点 $x_0$ ，就有平面上其它任意点 $x$ 与 $x_0$ 所成向量 $\vec {x_0x}$ 与垂直于法线 :
$\vec {x_0x} \cdot \vec w = 0 \rightarrow (\vec x - \vec x_0)\cdot \vec w = 0$
$\therefore \vec {x_0x} \cdot \vec w = \vec w^T\vec x - \vec w^T\vec x_0 = 0$

由于 $x_0$ 为提前确定的平面内一点，则有 $\frac {\vec w^T\vec x_0}{\|\vec w\|}$ 计算了空间原点 $O$ 与 $x_0$ 所成向量到平面法向量的投影长度，实质上描述了 平面H 偏离空间原点的距离 ，这个偏移量描述一般描述为 $b = - \frac {\vec w^T\vec x_0}{\|\vec w\|}\cdot \|\vec w\|$ 的形式。当 $b = 0$ 时意味着超平面未发生偏移，过空间原点 $O$ 。
这样根据平面内一点和法向量确立的平面的约束方程称为 点法式超平面方程:
$w^Tx + b= 0$

点到超平面距离

对于空间上的任意点 $X$ 到 $w$ 所定义的超平面H的距离 $d$ 就有等于向量 $\vec {OX}$ 在平面法向量上的投影距离 $\frac {wX}{\|w\|}$ 减去平面相对原点的偏移量 $\frac {-b}{\|w\|}$ ,即：

$d(X \rightarrow H) = |\frac {wX}{\|w\|} - \frac {-b}{\|w\|}| = \frac {|wX+b|}{\|w\|}$
如在简单二维空间内，平面上的一点 $(x_1,y_1)$ 到直线形式的超平面对象 $Ax + By +C = 0$ 的距离就可以描述为 $d = \frac {|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt {A^2 + B^2}}$