如何利用向量的数量积求最值或取值范围

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-09-15 08:32 被阅读0次

如何利用向量的数量积求最值或取值范围
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平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.

利用向量的数量积m·n≤|m||n|求最值或取值范围

方法二利用向量的数量积 $m\cdot n \leqslant |m||n|$ 求最值或取值范围

使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题

解题步骤：

第一步运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；

第二步运用向量的数量积的性质求解；

第三步得出结论.

【例】已知 $\triangle OAB$ 的顶点坐标为 $O(0,0)$ ， $A(2,9)$ ， $B(6,-3)$ ，点 $P$ 的横坐标为 $14$ ，且 $\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{PB}$ ，点 $Q$ 是边 $AB$ 上一点，且 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AP}=0$ .

（1）求实数 $\lambda$ 的值与点 $P$ 的坐标；

（2）求点 $Q$ 的坐标；

（3）若 $R$ 为线段 $OQ$ （含端点）上的一个动点，试求 $\overrightarrow{RO}\cdot(\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{RB})$ 的取值范围.

【解析】

（1）设 $P(14,y)$ ，则 $\overrightarrow{OP}=(14,y)$ ， $\overrightarrow{PB}=(-8,-3-y)$

由 $\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{PB}$ ，得 $(14,y)=\lambda (-8,-3-y)$ ，

解得 $\lambda=-\dfrac{7}{4}$ ， $y=-7$ ，所以点 $P(14,-7)$

（2）设点 $Q(a,b)$ ，则 $\overrightarrow{OQ}=(a,b)$ ，

又 $\overrightarrow{AP}=(12,-16)$ ，则由 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AP}=0$ ，得 $3a=4b$ ①

又点 $Q$ 在边 $AB$ 上，所以 $\dfrac{12}{-4}=\dfrac{b+3}{a-6}$ ，即 $3a+b-15=0$ ②

联立①②，解得 $a=4$ ， $b=3$

所以点 $Q(4,3)$

（3）因为 $R$ 为线段 $OQ$ 上的一个动点，

故设 $R(4t,3t)$ ，且 $0 \leqslant t \leqslant 1$ ，则 $\overrightarrow{RO}=(-4t,-3t)$ ，

$\overrightarrow{RA}=(2-4t,9-3t)$ ， $\overrightarrow{RB}=(6-4t,-3-3t)$ ，

$\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{RB}=(8-8t,6-6t)$ ，

则 $\overrightarrow{RO} \cdot (\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{RB})=-4t(8-8t)-3t(6-6t)=50t^2-50t(0 \leqslant t \leqslant 1)$ .

在 $t$ 的取值范围内，最大值是 $0$ ，最小值是 $-\dfrac{25}{2}$

故 $\overrightarrow{RO}\cdot(\overrightarrow{RA}+\overrightarrow{RB})$ 的取值范围为 $\left[-\dfrac{25}{2},0\right]$ .

【总结】其解题思路为：

（1）由 $\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{PB}$ ，根据向量共线，设出 $P$ 点坐标即可得；

（2）设出 $Q$ 点坐标 $(a,b)$ ,根据 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{AP}=0$ 可得一个方程，然后利用 $Q$ 在 $AB$ 上利用向量共线得另一个方程，解方程组可得 $Q$ 点坐标；

（3）由 $R$ 在线段 $OQ$ 上可利用向量共线设 $R$ 坐标 $(4t,3t)$ ，注意引入的变量 $t$ 范围，然后分别表示出向量 $\overrightarrow{RO}$ ， $\overrightarrow{RA}$ ， $\overrightarrow{RB}$ ，利用数量积得出一个关于 $t$ 的二次函数，求这个关于 $t$ 的二次函数的最值即可得.