如何利用向量的数量积求最值或取值范围

平面向量中的最值和范围问题，是一个热点问题，也是难点问题，这类试题的基本类型是根据给出的条件求某个量的最值、范围，如：向量的模、数量积、夹角及向量的系数．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，解决平面向量最值、范围问题的另一个基本思想是数形结合．在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.

利用向量的数量积m·n≤|m||n|求最值或取值范围

方法二 利用向量的数量积求最值或取值范围

使用情景：涉及数量积求平面向量最值问题

解题步骤：

第一步 运用向量的加减法用已知向量表示未知向量；

第二步 运用向量的数量积的性质求解；

第三步 得出结论.

【例】 已知的顶点坐标为，，， 点的横坐标为，且，点是边上一点，且.

（1）求实数的值与点的坐标；

（2）求点的坐标；

（3）若为线段（含端点）上的一个动点，试求的取值范围.

【解析】

（1）设，则，

由，得，

解得，，所以点

（2）设点，则，

又，则由，得 ①

又点在边上，所以，即②

联立①②，解得，

所以点

（3）因为为线段上的一个动点，

故设，且，则，

，，

，

则.

在的取值范围内，最大值是，最小值是

故的取值范围为.

【总结】其解题思路为：

（1）由，根据向量共线，设出点坐标即可得；

（2）设出点坐标,根据可得一个方程，然后利用在上利用向量共线得另一个方程，解方程组可得点坐标；

（3）由在线段上可利用向量共线设坐标，注意引入的变量范围，然后分别表示出向量，，，利用数量积得出一个关于的二次函数，求这个关于的二次函数的最值即可得.