附录3.概率

                  概率

    从 1654 年开始，布莱斯·帕斯卡尔和皮埃尔·费马 在相互来往的信件中发展了概率论的基本原理。

定义

      试验是进行观察的过程。例如 : 连续掷两次同一枚硬币，观察结果如何。

      可能结果是指试验可能产生的结果。某个试验中所有可能产生的结果被称之为“ 样本空间”。 连续掷两次同一枚硬币的试验会产生 4 种可能的结果 : 两次都是正面朝上 ;两次都是背面朝上 ; 第一次正面朝上、第二次反面朝上，以及第一次反面朝上、第二次正面朝上。

      事件是指某个试验中一系列可能产生的结果。

简单事件指 : 观察至少出现一次正面朝上的结果。这一事件由两次正面都朝上，第一次正面朝上、第二次反面朝上，以及第一次反面朝上、第二次正面朝上这三种可能的结果所组成。

复合事件指：由两个或更多个别事件所组成的事件。

独立事件——如果B 事件发生与否皆不影响A 事件发生的概率，称 A事件与 B事件为独立事件。A 事件 : 观察投掷一枚硬币时正面朝上的情况。B 事件 : 观察投掷另外一枚硬币时背面朝上的情况。掷每个硬币都属于独立事件，因为第一个硬币的投掷结果不会影响到投掷第二个硬币的结果，第一个硬币的投掷结果也不会告诉我们投掷第二个硬币时会产生怎样的结果。

互斥事件—— A 事件和 B 事件属于互斥事件，则意味着 A、B 事件不可能同时发生，也就是说这两个事件之间没有共同的元素。只投掷一枚硬币。会有两个事件 : 正面朝上以及背面朝上。看到了正面朝上意味着排除了看到背面朝上的可能性。如果两个事件之间至少存在一个相同的结果，则这两个事件为非互斥事件。掷出一颗骰子。A 事件 : 看到掷出 4点。B 事件 : 看到掷出了偶数。因为偶数包括了2、 4、6，因此这两个事件之间有一个结果是相同的。

概率——介于 0-1之间的数值，用来衡量某一事件发生的可能性。若概率为 1， 则表明这一事件肯定会发生。若概率为零，则意味着这一事件肯定不会发生。

算术平均数——一系列结果的算术平均数通常被称之为这些结果的平均值。为了获得1 . 8、6、4、7 这几个数值的平均数， 我们先把这些数字加总，得到 26，然后除以5，得 到 5.2。

变异性显示了结果与算术平均数之间的离散程度。

期望是指，如果我们进行大量的试验，我们所希望观察到的结果的平均数。它也被称为期望值，指经过概率加权之后所有可能的结果的总和。

总体——结果、目标、事件等的总数。这是一个由至少拥有一个共同特征的样本所组成的群体。

样本——从被研究的总体中随机抽取的一个代表，目的是为了对总体得出一个结论。样本规模越大，对概率的预测就越准确。但应该注意到，关键是样本的绝对规模(比如说.接受询问的人的数量)，  而不是样本占总体中的百分比。从整个美国人口中随机抽取的 3,000 人较从一所大学中抽取的 40 人更具预言性。随机抽样调查是指，总体中每个个体被选中的机会相等。

如何判断一个事件的概率?

      概率法则告诉我们，在大量的试验中可能会出现什么情况。这意味着我们应能对长期内将发生什么情况作出合理的预期，但我们无法对一起特定事件的结果作出预测。

      由三种方法可以衡量概率 : 逻辑法、相对频率以及主观概率。

1.逻辑法

      如果我们知道可能发生的结果的具体数量或者所有结果出现的可能性都是均等的，那么我们就可以用逻辑法来衡量概率了。例如在机遇游戏中，通过将我们希望看到结果的数量除以所有可能出现的结果的数量，我们就得到了想要的概率。如果所要分析的情形其结果出现的可能性是均等的，我们就能使用这一定义。

    投掷一枚硬币，正面朝上的概率是多少.我们希望看到的结果出现的次数为 1 次，且这一结果出现的可能性是均等的，而所有可能出现的结果的数量为 2(一个为正面朝上.一个为反面朝上)  那么所要知道的概率就是 1/2，或50%。

2.相对频率法

      当一个试验可以重复多次进行时，概率就是该事件之相对频率之极限。在多数情况下，我们不知道这一事件的概率。为什么?因为我们不知道所有的结果。因此，我们必须通过试验，或者找到有关这一事件过去发生频率的具有代表性的信息，来试着预测这一事件在长期内可能出现的相对频率。

      所谓的具有代表性的信息是指，这些信息必须以过去大量独立试验中所得的相对频率，或者在相同条件下对参考类的观察为基础。这里的参考类指的是，结果的分布是已知的，或者是可以作出合理预测的。我们研究的参考类越多，正确预测概率的机会就越大。

      进行一项试验，以测出掷出正面朝上的可能性有多大。 连续掷一枚硬币 1,000 次.并观察结果。如果你看到有400 次是正面朝上，那么掷出正面朝上的相对频率即为正面朝上(发生的事件) 的次数除以投掷的总次数(即试验的总次数)，为 400/1,000。如果掷 2,000 次，然后观察结果。如果有 900次正面朝上，则相对频率为900/2,000。掷的次数越多，发生这一事件的理论概率与相对频率之间的差距就会越小。在这个案例中，掷出正面朝上的相对频率将朝 1/2 靠拢。

      出现损失的频率有多少? 按时间顺序，这些损失是如何分布的?程度如何?保险公司就是使用相对频率来解答这些问题的。他们是根据对承保事件发生可能性的预测来设定保费的。如果他们假定历史可以代表未来，那么他们便会试着通过观察一些特定事件之前的发生频率来算出某一特定事件的相对频率。

      假设房子着火的概率为 0.3%。这意味着保险公司发现，历史数据，以及其他一些大量有关房屋的指标(比如，参考类是“在某一区域 50 年来的火灾数据”)显示， 过去这个地区每 1,000套房子中有 3套房子会着火.这一概率也意味着，假定引起火灾的因素没有改变，我们可以作出合理的预测，认为未来房子发生火灾的概率也保持不变。

      一家保险公司知道，每年有一定比例的保户会遇到意外。他们不知道这会是哪些保户，但通过给许多个人提供保险，他们分散了这一风险。虽然很难预测单个保户的出险概率，但如果把个体放在规模巨大的总体中那么出险概率是可以预测的。但保险商必须确保承保的事件都是独立事件，且一个事件的发生，或者多个独立事件的同时发生不会给更多的保户带来影响，从而使保险商避免在同一时间支付巨额赔偿。例如，一家给某一街区内的许多建筑物提供火灾险的保险公 司可能会因为发生一起特大火灾而面临破产的威胁。

3.主观概率

      如果某项试验无法重复进行，或者当不存在具有代表性的历史相对频率或可比数据时，那么此时的概率就是我们对某一事件发生可能性的主观预测。我们必须使用一切可以使用的信息来作出主观评估，或者作出个人预测。但我们并不是随意给事件安排一个数字了事。这些主观概率必须符合概率法则

  纽约尼克斯队的一名支持者可能会说 :“我相信纽约尼克斯队赢得下一场比赛的概率为 90%，因为他们现在的状态一直很好。”

概率法则

    如果两个事件是独立事件(一个事件的发生不会影响到另外一个事件的发生概率). 那么这两个事件同时发生的概率就是它们各自发生概率的乘积。即 :A 事件和 B 事件同时发生的概率= P(A)×P(B)。

      一家公司拥有两条独立的生产线。在第一条生产线上，出现次品的概率为 5%，第二条生产线上产出次品的概率为 3%。如果我们从这两条生产线上各取出一件产品，两件产品都是次品的概率有多大?答案0.15% (即 0.05×0.03)。

      如果这些事件属于相关事件，那么这一法则就会有所改变。在许多情况下，某个事件的概率依赖于另外一个事件的发生。不同的事件之间经常是通过某一方式联系在一起的，因此，如果一个事件的发生会增加或降低其他事件的发生概率。例如，如果我们掷骰子，A 事件 : 掷出一个偶数，B 事件 : 掷出一个小于 4的点数，然后假设我们知道 B 事件已经发生，A事件发生的概率则是 1/3.这被称之为条件概率，或者说一个事件的发生概率由其他事件的发生所决定。条件概率适用于相关事件。由 B事件所确定的 A事件的条件概率是 1/3，因为我们知道 B事件的结果可能为 1、2、3，而 只有 2 才是 A 事件。

      在一个有两个孩子的家庭中，如果知道至少有一个是男孩，那么这个家庭的两个孩子都是男孩的概率有多大?  问 : 这个家庭中的两个孩子的性别排列有几种可能性? 都是男孩，大的是男孩小的是一个女孩，大的是女孩小的是男孩，以及都是男孩。因为我们已经知道“至少有一个是男孩”，我们可以排除“两个都是女孩”的这一情况。因此，这一概率为 1/3，或 33%。

      在一个有两个孩子的家庭中，如果知道第一个出生的是男孩，那么两个都是男孩的概率有多大? 这个家庭中两个孩子的性别排列可能为 : 都是男孩，大的是男孩小的是一个女孩，大的是女孩小的是男孩，以及都是男孩。因为我们已经知道大一点的是男孩，因此我们可以排除“大的是女孩小的是男孩.以及“两个都是女孩”的情况。最终得出概率 为 50%。

      在条件概率中，有一个问题让许多数学教授们伤透了脑筋，它就是“三门问题”。专栏作家玛莉莲·莎凡问了下面这个问题 :假设你在一个电视节目上，主持人要求你在三个门中选择一个。其中一个门后面是车，剩下的两个门后面是羊。你选了一个门， 记为 1 号门。而这时知道门后面有什么的主持人打开了另外一扇门，记为 3号门，里面是一头羊。然后他会问你‘你想选择 2 号门嘛?’ 你是否应该改变你的选择呢?

      你会怎样回答? 假设我们可以随时调整我们的选择。对可能出现的结果列出表格，看看改变选择会让你得到多少种结果( 参见表 1)。

附录3.概率

从最终变化我们可以看出，不管车子在哪扇门后面，我们都应该改变我们最初的选择，因为这么做的话我们获胜的概率有 2/3。这一问题的关键是，我们知道在这个游戏中， 主持人知道每扇门后面都有什么，并且他只会打开背后是羊的那扇门。

    当两个事件是互斥事件(指不可能同时发生的事件)时，  那么发生这两个事件的概率为这两个事件各自发生概率之和。即 : 发生 A 事件或者 B 事件的概率= P(A)+P(B)。

      如果拿一颗骰子掷一次，掷出 2点或者 4 点的概率有多少? 可能的结果有 6 种，而这两个事件(掷出 2点和掷出 4点) 没有任何共性。我们不可能同时用一颗骰子掷出2 点和 4 点。 掷出 2点的概率有多少?是 1/6。掷出4点的概率是多少? 也是1/6。因此，我们掷出 2 点或者 4 点的概率为 1/6+1/6 = 33%。

      当两个事件相容 ( 可同时发生 ) 时 , 至少发生一个事件的概率等于两个事件发生的概率之和减去两个事件同时发生的概率。即 :P(A)+P(B)-P(A+B)。

      假设洛杉矶 10-20岁年龄段的少年人群拥有冲浪板的概率是 25%. 拥有自行车的概率是 85%，同时 拥有这两样物品的概率是 20%.  若随机选取一位洛杉矶少年，则其拥有冲浪板或自行车(0.25+0.85)-0.20=90%因为少年可能既有冲浪板也有自行车，所以存在重复计算的概率。

      有时候用排除法可以更为容易地计算出所要的概率。一个事件不会发生的概率为 1 减去该事件发生的概率。如果 A事件可能发生的概率为 30%， 那么该事件不会发生的概率为70%，因为除了发生 A事件外，剩下的都是“不会发生 A事件”。一个事件的发生概率和不发生概率之和总是等于 1。 我们用一颗骰子连续掷 4次，至少有一次掷出 6点的概率有多少? 我们把这个问题倒过来看，并计算“用一颗骰子连续掷 4 次，没有一次掷出 6点”的概率。这里有 4 个事件， 在掷第一次时没有掷出 6点，第二次、第三次和第四次也没有。在这 4个事件中，每个事件的概率为 5/6，因为在 5 种情况下属于“没有掷出 6点”，即掷出了 1、2、3、4、5点.而这 4个事件相互之间没有任何影响。这意味着连续 4 次没有掷出 6 点的概率为 5/6×5/6×5/6×5/6=48.2%。因此，“用一颗骰子连续掷4次，至少有一次掷出6 点”的概率为 1-48.2% = 51.8%。

计算可能出现的结果

      根据乘法原理，如果一个事件能够以 n 种方式出现，不受第一个事件影响的第二个事件能够以m种方式出现，那么两个事件能够以 nm 种方式出现。

      假设洛杉矶和纽约之间有 4条不同的航班，纽约和波士顿之间有 3条不同的航班，波士顿和百慕大之间有 5条不同的航班。在这些航班中，我们可以有 4×3×5=60 种组合方式。

      排列或换位重排意味着我们可以使用不同的方法来排序或安排一系列的对象。

      有 3顶帽子可供我们选择——颜色分别是黑、白、棕。如果白、黑、棕的排列顺序与黑、白、棕的排列顺序属于不同的排列，那么这 3 顶帽子有多少种排列方式? 我们有 6 种排列方式 :  黑 - 白 - 棕 、 黑 - 棕 - 白 、 白 - 黑 - 棕 、 白 - 棕 - 黑、棕 - 白 - 黑、棕 - 黑 - 白。 可以换一个角度来思考这个问题 : 我们将这三顶帽子放进3 个排成一排的盒子中。我们可以有 3种选择将一顶帽子放在第一个盒子中，因为我们有 3 顶帽子可供选择。接下来我们有两种选择将一顶帽子放在第二个盒子中，因为我们现在只剩下两顶帽子可供选择了。对于最后一个盒子，我们只有一种选择，因为我们只剩下一顶帽子了。这意味着我们可以有 3×2×1 = 6 种不同的放置方法。

      这一等式也可以写成 3 != 6。如果我们有 n(6)个盒子，并可以在这些盒子中任意选择，那么就有 n(6)种选择。对于第二个盒子剩下的选择为 n-1(5)种，留给第三个盒子的选择为 n-2(4)种，依此类推。n个盒子的排列方式有 n !种。n !就是阶乘，表示从 1 到 n 中所有数字的乘积。

      假设 12 个人坐在桌子旁一起吃饭。 有多少种坐法? 第一个来到房间内的那个人可以在所有12把椅子中任意选择一把，第二个人在 11把椅子中选择，依此类推，这意味着 共有 12 != 479,001,600 种不同坐法。

      在 n 个对象中，我们对 r个对象的排列方法的数量被称之为对 n个对象中 r 个对象的排列，记为 :n  /(n-r)!

      一个保险箱有 100个数字。为了打开这个保险箱，小偷必须正确选中 3个不同的数字。这可能吗?对 100 个数字中的 3 个数字进行排列的方法有 970,200 种，即 100  / (100-3)!。如果测试每种排列需要小偷用时 5 秒， 以每天 24 小时不间断地试验这些排列，共需 56 天才能完全试完。

      组合指的是，从一群对象中选出部分对象，且不考虑被选中的对象的先后顺序，只考虑有多少种选择方法。

      如果有草莓味、香草味和巧克力味三种不同的口味，如果从这三种口味中任意挑出两种口味来制作冰激凌，可以有多少种调配方式?我们有三种调配方式 :草莓加香草，草莓加巧克力，以及香草加巧克力。不管是先放草莓后放香草，还是先放香草后放草莓，得到的都是同一种冰激凌。哪种口味先放并不会影响最后的结果。香草放在最上面与香草放在最下面是一样的。

      在 n 个对象中，我们对 r个对象的组合方法的数量被称之为对 n 个对象中 r个对象的组合，记为 :n ! /r ！(n-r)!

      从 10 个人当中选 3 个人，可以有 120 种不同的选法， 即 10 ! /3！(10-3)!

二项分布

      假设我们做10个是非判断题。我们对所问的问题一无所知，因此，我们只能猜答案为了通过这项测试，我们必须答对5个问题.我们有可能猜对这么多问题吗?

      我们该如何判断呢?问 :当我们在猜答案的时候，出现概率均等的结果有多少种? 有 2 种可能出现的结果。要么我们答对，要么我们答错。如果只有一个问题，那么我们猜对的概率为 50%，猜错的概率同样为 50%(即 1- 猜对的概率)。那么这 10 个问题所有可能出现的结果有多少种呢? 因为每个问题都可能出现两种结果，因此，10个问题可能出现的结果总数为 210，即 1,024 种组合。我们对这些问题的答案可能有 1,024 种。那么正确的答案有多少种呢? 只有一种情况才会答对(或答错)所有这 10个问题——必须答对 (或者答错)所有这10个问题。全部答对或者答错的概率为1:1,024。这意味着如果我们对这些问题给出 1,024 种不同的答案，且每次都是随机猜测这些问题的答案，那么在这 1,024种答案中，我们只有1次是全部答对或者答错的。 那么猜对5个问题的情况有多少种呢?  让我们回过头来看一下组合，并问 :  如果我们从 10 个问题中挑选 5 个问题，我们有多少种挑选方法呢?有 252 种组合，即 10 ! /5 ! (10-5)!，可以在 10 个问题中答对 5个问题。因为猜对每个问题的概率为 50%且我们会回答 10 个问题，而我们只 需要答对 5 个问题就可以了， 且答对 5 个问题的组合有 252种，因此，我们答对 5个问题的概率为(0.5)^5×(0.5)^5×252 = 24.6%。

我们至少答对 5 个问题的概率又是多少呢?这一概率应该高于前一概率，因为我们答对 6 个、7 个、8 个、9 个和 10个问题的情况也计算在内。因此，我们必须加上我们猜对 6 个、7 个、8 个、9 个、10个问题的概率.

猜对 5 个问题的组合有多少种? 10 ! /5 !(10-5)! = 252 种

猜对 6 个问题的组合有多少种? 10 ! /6 !(10-6)! = 210 种

猜对 7 个问题的组合有多少种? 10 ! /7 !(10-7)! = 120 种

猜对 8 个问题的组合有多少种? 10 ! /8 !(10-8)! = 45 种

猜对 9 个问题的组合有多少种? 10 ! /9 !(10-9)! = 10 种

猜对 10 个问题的组合有多少种? 10 ! /10 !(10-10)! =1种

总和= 638 种

    因为每个问题猜对的概率都为 50%，且总共需要回答10个问题，我们希望至少答对其中的 5个，这样的组合有 638种， 因此.我们至少答对 5个问题的概率为(0.5)^5×(0.5)^5 ×638=62.3%。

      这个例子就是二项试验。一个二项试验的概率分布是指: 有多少种从 n 件事情中选中 k 件事情的方法( n 次试验中有 k 次是成功的)×(成功概率)k×(1- 成功概率)n-k

如果我们把数字代入上面的公式，则可以得到 :252× (0.5)5×(0.5)5+210×(0.5)6×(0.5)4+120×(0.5)7× (0.5)3+45×(0.5)8×(0.5)2+10×(0.5)9×(0.5)1+1× (0.5)10×(0.5)0=62.3%。

      二项试验具有以下特征 : 某个事件是能重复出现的，或者这个试验由 n个相同且独立的试验所组成。每个试验都只有两种结果——成功或者失败，错或者对，存在或者不存在， 0 或者 1等。每个试验中的成功和失败的概率都是恒定的。

      二项试验可以是 : 打靶( 打中或者没打中)、开发新药( 有效或者无效) 、销售结束(卖掉或者没卖掉)等。 我们用同一个骰子连掷 5 次。你掷出 3 次 6点的概率有多大?怎样才算成功了?掷出一个 6 点才算成功。每次掷出 一个 6 点的概率有多少? 是 1/6(掷出去的骰子可能有 6种结果，只有其中一种结果符合要求)。失败的概率是多少? 是 1-1/6 = 5/6。试验次数是多少? 5次。在这些次数的试验中，需要成功几次? 3 次。在 5 次试验中， 你 3 次掷出 6 点的情况有多少种?答案是 5 ! /3！(5-3)!=10， 从而得出概率为 10×(1/6)^3×(5/6)^2=3.2%。 一艘船配备有 3 个独立的发动机，且至少需要 2 个发动机才能保证这艘船正常行使。每个发动机正常工作的概率为 98%。所有 3 个发动机都正常工作的概率为 94.1%(即 0.98 ×0.98×0.98)。至少有一个发动机(包括 2 个和 3 个发动机)不能工作的概率为 5.9%(相当于 1 个发动机不能工作、 2 个发动机不能正常工作以及 3 个发动机不能正常工作的概率总和)。那么至少有 2 个发动机正常工作的概率是多少? 让我们先来看一下组合以及二项分布 : 3 个发动机都正常工作的概率 +2 个发动机正常工作的概率= 3 ! /3 ！(3-3) ！×(0.98)^3×(0.02)^0+3！/2！(3-2)！ ×(0.98)^2×(0.02)^1 =99.8816%。因此，至少有 2 个发动机不能正常工作的概率为 0.1184%。在 845 次航行中，这艘船会有一次无法正常行使。让我们再加一个备用发动机。这时至少有 2个发动机正常工作的概率会变为多少? 4 个发动机都正常工作的概率 +3个发动机正常工作的概率 +2 个发动机正常工作的概率= 4 !/4 ！(4-4) ！×(0.98)^4×(0.02)^0+4 ! /3 !(4-3)！ × (0.98)^3×(0.02)^1+4 ! /2 ！(4-2)! ×(0.98)^2×(0.02)^2 =99.996848%。因此，至少 3 个发动机无法正常工作的概率 为 0.003152%。也就是说，现在这艘船在 31,726 次航行中才会有一次无法正常行使.

      二项概率假设各个事件都是独立的。现实中，有可能一个发动机的损坏会增加另外一个发动机出故障的概率。例如，一台发动机出故障之后会增加另外一台正在工作的发动机的负荷。使用一台发动机会增加这台发动机的工作强度和损耗。

对书中一些例子的概率计算

P246,  从 49 个数字中选出 6 个数字的组合有 49 ! /(49 -6)!×6 ! = 13,983,816 种. 24 小时 等于 1,440 分 钟。 一年 365 天等于 525,600 分钟。1,400万分钟相当于大约 27 年。

P258,  我们成功的概率为(0.8)^6 = 26%。

P261,  10 个相互独立的公司都获得成功的概率为 0.01% (即 0.4^10)，但至少有一家新公司获得成功的概率高达 99.4% (1-0.6^10)。

P262,      至少有一个部件不工作的概率为 86.5%(1- 0.999^2,000)。假设这些部件都是独立的，整个系统出故障( 至少有一个部件出故障)的概率等于 1 减去系统正常运行的概率。

P262, 假设两个导航系统都是独立的，整个系统出故障 (该系统中的两个导航系统必须无法正常工作)的概率是主系统和备用系统出故障的概率总和。

P263, 如果一个事件在任何一年内出现的概率为 5%，那么该事件在 50 年内几乎肯定会出现(概率为 1-0.95^50 = 92.3%)。如果一个事件在任何一年内出现的概率为 5%，那 么其不出现的概率为 95%。这一事件在未来 50 年内不会出 现的概率为 7.7%。这意味着这一事件在 50 年内至少出现一次的概率为 92.3%。

P263,  在任何一年中，至少发生一起事故的概率为 3.9% (1-0.999^40)。在未来10 年中，至少会发生一次事故的概率为 33%(1-0.961^10)。

P263,  因此，任何一年发生大地震的概率为 3.2%(1-p)^30=38%)。 在未来5 年中，至少发生一次大地震的概率为 15% (1-0.968^5)。

P268, 在一个由 1,048,576(即 2^20）人所组成的一个群 体中，肯定有人会遇到这样的事情。事实上，在美国 2.8 亿 人口中，发生概率为 1/1,000,000 的事件每天会发生 280 次(1/1,000,000×2.8 亿)。

P269, 假设可以选择 365 天中的任何一天为自己的生日，一个人的生日就有 365 种可能性，且所有这些生日的发生概率都是均等的。当这个群体由两个人组成时，第二个人可以从剩下的 364天中选择一天作为自己的生日。第二个人与第一人同一天生日的可能性只有一种。因此，这两人同一天生日的概率为 1/365 = 0.27%。当这个群体由3人组成时，通过找到这 3人的生日不是同一天的概率，可以更为容易地算出 3人中任何 2 人同一天生日的概率。当人数为 3人时，第 三个人可以从剩下的 363天中选择一天作为自己的生日。这意味着第三个人的生日不同于其他两人的概率为 363/365 =99.45%。

为了计算多个事件同时发生的概率，我们将单个事件的发生概率相乘。在一个由 3人组成的群体中，没有一人生日相同的概率为 365/365×364/365×363/365 =99.18%。因 此，3 人中有两人同一天生日的概率为 1-0.9918 = 0.82%。 让我们来重复这一过程，看一下 23 人组成的群体中的这一 概率。365×364×363×......343 /365^23=49.3%。因此，23 人中有两人同一天生日的概率为 1-0.493 = 50.7%。

P288, 在做出了 10 次预测之后，有一只猴子完全预测到了利率的走势(1,000×0.5^10).

P292, 在 10 次试验中取得两次成功的组合有 10 ! / (10-2)! 2 != 45 种。概率为 45×(0.8)2×(0.2)8 =0.007%。