二叉树—哈夫曼编码

哈夫曼树(Huffman Tree)

给定N个权值作为N个叶子节点，构造一棵二叉树，如果该树的带权路径长度达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也成为哈夫曼树(Huffman Tree)，

带权路径长度：节点到跟的路径长度 乘以 权值。
树的带权路径长度：树中所有叶子节点的带权路径长度之和。
WPL(weight path length): 权值路径长度

WPL计算示例

构建一颗哈夫曼树的基本原理是：权值大的用短路径，权值小的用长路径。
1：将N个权值有小到大排序；
2：选取最小的两个权值，作为左右子节点，构建成一个小二叉树；两个权值和为一个额外的节点作为跟节点。
3：再选取最小的权值，构建一个新的小二叉树，然后和上步的小二叉树链接到一块；直到权值都用完，变成一棵树。
构建过程示例：

示例1
示例2
示例3
示例4

哈夫曼编码

哈夫曼编码(Huffman Coding)，又称霍夫曼编码，是一种编码方式，可变字长编码(VLC)的一种。该方法完全依据字符出现概率，来构造异字头的平均长度最短的码字，有时称之为最佳编码，一般就叫做Huffman编码（有时也称为霍夫曼编码）。

哈夫曼树的应用很广，哈夫曼编码就是其在电讯通信中的应用之一。广泛地用于数据文件压缩的十分有效的编码方法。其压缩率通常在20%～90%之间。在电讯通信业务中，通常用二进制编码来表示字母或其他字符，并用这样的编码来表示字符序列。

例：如果需传送的电文为 ‘BADCADFEED’，它只用到6种字符，用两位二进制编码便可分辨。假设 A, B, C, D，E，F 的编码分别为 00, 01,10, 11，则上述电文便为 ‘001 000 011 010 000 011 101 100 100 011’（共 30 位），译码员按两位进行分组译码，便可恢复原来的电文。

压缩电文 哈夫曼树节点结构

哈夫曼树构建&编码实现

#include "string.h"
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"

const int MaxValue = 10000;//初始设定的权值最大值
const int MaxBit = 4;//初始设定的最大编码位数
const int MaxN = 10;//初始设定的最大结点个数

typedef struct HaffNode{
    int weight;
    int flag;
    int parent;
    int leftChild;
    int rightChild;
}HaffNode;

typedef struct Code//存放哈夫曼编码的数据元素结构
{
    int bit[MaxBit];//数组
    int start;  //编码的起始下标
    int weight;//字符的权值
}Code;

//1.
//根据权重值,构建哈夫曼树;
//{2,4,5,7}
//n = 4;
void Haffman(int weight[],int n,HaffNode *haffTree){
    
    int j,m1,m2,x1,x2;
    
    //1.哈夫曼树初始化
    //n个叶子结点. 2n-1
    for(int i = 0; i < 2*n-1;i++){
        
        if(i<n)
            haffTree[i].weight = weight[i];
        else
            haffTree[i].weight = 0;
        
        haffTree[i].parent = 0;
        haffTree[i].flag = 0;
        haffTree[i].leftChild = -1;
        haffTree[i].rightChild = -1;
    }
    
    
    //2.构造哈夫曼树haffTree的n-1个非叶结点
    for (int i = 0; i< n - 1; i++){
         m1 = m2 = MaxValue;
         x1 = x2 = 0;
        //2,4,5,7
        for (j = 0; j< n + i; j++)//循环找出所有权重中，最小的二个值--morgan
        {
            if (haffTree[j].weight < m1 && haffTree[j].flag == 0)
            {
                m2 = m1;
                x2 = x1;
                m1 = haffTree[j].weight;
                x1 = j;
            } else if(haffTree[j].weight<m2 && haffTree[j].flag == 0)
            {
                m2 = haffTree[j].weight;
                x2 = j;
            }
        }
        
        //3.将找出的两棵权值最小的子树合并为一棵子树
        haffTree[x1].parent = n + i;
        haffTree[x2].parent = n + i;
        //将2个结点的flag 标记为1,表示已经加入到哈夫曼树中
        haffTree[x1].flag = 1;
        haffTree[x2].flag = 1;
        //修改n+i结点的权值
        haffTree[n + i].weight = haffTree[x1].weight + haffTree[x2].weight;
        //修改n+i的左右孩子的值
        haffTree[n + i].leftChild = x1;
        haffTree[n + i].rightChild = x2;
    }
    
}
/*
 9.2 哈夫曼编码
 由n个结点的哈夫曼树haffTree构造哈夫曼编码haffCode
 //{2,4,5,7}
 */
void HaffmanCode(HaffNode haffTree[], int n, Code haffCode[])
{
    //1.创建一个结点cd
    Code *cd = (Code * )malloc(sizeof(Code));
    int child, parent;
    //2.求n个叶结点的哈夫曼编码
    for (int i = 0; i<n; i++)
    {
        //从0开始计数
        cd->start = 0;
        //取得编码对应权值的字符
        cd->weight = haffTree[i].weight;
        //当叶子结点i 为孩子结点.
        child = i;
        //找到child 的双亲结点;
        parent = haffTree[child].parent;
        //由叶结点向上直到根结点
        while (parent != 0)
        {
            if (haffTree[parent].leftChild == child)
                cd->bit[cd->start] = 0;//左孩子结点编码0
            else
                cd->bit[cd->start] = 1;//右孩子结点编码1
            //编码自增
            cd->start++;
            //当前双亲结点成为孩子结点
            child = parent;
            //找到双亲结点
            parent = haffTree[child].parent;
        }
        
         int temp = 0;
        //以上树的编码是从叶节点往跟节点走向，路径编码需要倒序
        for (int j = cd->start - 1; j >= 0; j--){
            temp = cd->start-j-1;
            haffCode[i].bit[temp] = cd->bit[j];
        }
      
        //把cd中的数据赋值到haffCode[i]中.
        //保存好haffCode 的起始位以及权值;
        haffCode[i].start = cd->start;
        //保存编码对应的权值
        haffCode[i].weight = cd->weight;
    }
}

测试：

int main(int argc, const char * argv[]) {
    // insert code here...
    printf("Hello, 哈夫曼编码!\n");
    int i, j, n = 4, m = 0;
    
    //权值
    int weight[] = {2,4,5,7};
    
    //初始化哈夫曼树, 哈夫曼编码
    HaffNode *myHaffTree = malloc(sizeof(HaffNode)*2*n-1);
    Code *myHaffCode = malloc(sizeof(Code)*n);
    
    //当前n > MaxN,表示超界. 无法处理.
    if (n>MaxN)
    {
        printf("定义的n越界，修改MaxN!");
        exit(0);
    }
    
    //1. 构建哈夫曼树
    Haffman(weight, n, myHaffTree);
    //2.根据哈夫曼树得到哈夫曼编码
    HaffmanCode(myHaffTree, n, myHaffCode);
    //3.
    for (i = 0; i<n; i++)
    {
        printf("Weight = %d\n",myHaffCode[i].weight);
        for (j = 0; j<myHaffCode[i].start; j++)
            printf("%d",myHaffCode[i].bit[j]);
        m = m + myHaffCode[i].weight*myHaffCode[i].start;
         printf("\n");
    }
    printf("Huffman's WPS is:%d\n",m);

    return 0;
}
//
Hello, 哈夫曼编码!
Weight = 2
110
Weight = 4
111
Weight = 5
10
Weight = 7
0
Huffman's WPS is:35