专题：单位根+同时相似对角化

专题：单位根+同时相似对角化

作者: 抄书侠 | 来源:发表于2019-03-10 07:32 被阅读0次

单位根

例题

例2.6证明：对任意非负整数n，均有 $x^{2}+x+1\left|x^{n+2}+(x+1)^{2 n+1}\right.$
例2.16（西南大学2006）设 $\sum_{i=0}^{n-1} x^{i} p_{i}\left(x^{i n}\right)=p\left(x^{n}\right)$ ，且 $(x-1)|p(x)$ ，其中 $p_i(x)(0\leq i\leq n-1,p(x))$ 均为实系数多项式，证明：
(1) $p_{i}(x)=0(i=1, \cdots, n-1)$
(2) $p(x)=0$
(3) $p_0(1)=0$

参考文献

http://www.52gd.org/?p=227

同时相似对角化

例题

例2.1 $A，B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 有 $n$ 个不同特征值 $\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ ，且 $AB=BA$ .则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP，P^{-1}BP$ 同时为对角阵.并且 $B$ 可以唯一表示为 $A$ 次数不超过 $n-1$ 的多项式.

参考文献

http://www.52gd.org/?p=149

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