android 贝塞尔曲线的应用

作者: 许方镇 | 来源:发表于2016-06-04 22:34 被阅读4949次

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前言：

贝塞尔曲线又称贝兹曲线，它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。最初由保罗·德卡斯特里奥（Paul de Casteljau）于1959年运用德卡斯特里奥演算法开发（de Casteljau Algorithm），在1962，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表。目前广泛应用于图形绘制领域来模拟光滑曲线，为计算机矢量图形学奠定了基础。在一些图形处理软件中都能见到贝塞尔曲线，比如CorelDraw中翻译成“贝赛尔工具”；而在Fireworks中叫“画笔”；Photoshop中叫“钢笔工具”。下图为Photoshop中用钢笔绘制的贝塞尔曲线，共绘制了三条贝塞尔曲线：

Bézier curve

数学表达

术语：数据点、控制线、控制点、德卡斯特里奥算法、一阶，二阶，三阶，n阶……

数据点：一条贝塞尔曲线的起始点和终结点都叫数据点。
控制线：在图中可以看到那条中心点为数据点的线段，每个数据点对应一条控制线
控制点：就是控制线的端点，通过控制线随着控制点的变化而变化；数据点和控制点决定一条贝塞尔曲线。
一阶贝塞尔曲线：其实是一条直线段，没有控制点。

一阶贝塞尔曲线示意图

一阶贝塞尔曲线公式

二阶贝塞尔曲线：图中第二段为二阶贝塞尔曲线，只有一个控制点，即只有一个控制点和两个数据点来决定曲线形状。

二阶贝塞尔曲线示意图.gif

二阶贝塞尔曲线公式

二阶公式推导：

二阶贝塞尔曲线t=0.6示意图.gif

根据控制点和数据点，对贝塞尔曲线进行约束，满足的条件为

满足条件

问题变为：已知P₀(x₀,y₀), P₁(x₁,y₁), P₂(x₂,y₂)，根据上式求P点坐标？
先求出A、B点坐标，其坐标
P_A=P₀+(P₁-P₀)·t
P_B=P₁+(P₂-P₁)·t
之后求P点坐标，其坐标
P=P_A+(P_B-P_A)·t
P=(1-t)²P₀+2t(1-t)P₁+t²P₂， t∈[0,1]

三阶贝塞尔曲线：图中第三段为三阶贝塞尔曲线，有两个控制点和两个数据点决定的曲线，同样满足等比条件：

三阶贝塞尔曲线

三阶贝塞尔曲线公式

德卡斯特里奥算法的思想：给定数据点和控制点P₀、P₁…P_n，首先将数据点和控制点连接形成一条折线，计算出每条折线上面的一点，使得初始数据点（初始控制点）到该点的距离与初始数据点（初始控制点）到终止数据点（终止控制点）的距离之比为t:1。将这些点连接起来形成新的折线（折线少了一段），用递归的算法继续计算，指导只有两个点，在这两个点形成的线段上去一点，满足以上的比例关系。随着t的从0到1的变化，该点的集合形成了贝塞尔曲线。
n阶贝塞尔曲线公式如下。

n阶贝塞尔曲线公式

Android中的应用

对android中如何获取贝塞尔曲线上的点，如何绘制贝塞尔曲线，以及结合贝塞尔曲线的知识做出的效果进行分析。

1. 获取贝塞尔曲线上点的坐标

在android中并没有直接获取的方法，因此需要利用上面的公式进行计算，以二阶贝塞尔曲线为例，获取51个点，主要是t从0开始到1间取51项的等差数列：

public class MainActivity extends AppCompatActivity {

    private static final float mPointNum = 50f;

    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
        super.onCreate(savedInstanceState);
        setContentView(R.layout.activity_main);
        init();
    }

    private void init() {
        PointF mStartPoint = new PointF(0, 0);
        PointF mEndPoint = new PointF(0, 1200);
        PointF mControlPoint = new PointF(500, 600);

        List<PointF> mPointList = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i <= mPointNum; i++) {
            mPointList.add(getBezierPoint(mStartPoint, mEndPoint, mControlPoint, i / mPointNum));
            Log.d("Bezier", "X:" + mPointList.get(i).x + " Y:" + mPointList.get(i).y);
        }
    }

    private PointF getBezierPoint(PointF start, PointF end, PointF control, float t) {
        PointF bezierPoint = new PointF();
        bezierPoint.x = (1 - t) * (1 - t) * start.x + 2 * t * (1 - t) * control.x + t * t * end.x;
        bezierPoint.y = (1 - t) * (1 - t) * start.y + 2 * t * (1 - t) * control.y + t * t * end.y;
        return bezierPoint;
    }
}```
如果需要更高阶，可以使用递归函数来运算
```java
//用递归获取贝塞尔曲线点的x轴坐标
private float getBezierPointX(int n, int position, float t) {
        if (n == 1) {
            return (1 - t) * mPointList.get(position).x + t * mPointList.get(position + 1).x;
        }
        return (1 - t) * getBezierPointX(n - 1, position, t) + t * getBezierPointX(n - 1, position + 1, t);
    }

//用递归获取贝塞尔曲线点的x轴坐标
private float getBezierPointX(int n, int position, float t) {
        if (n == 1) {
            return (1 - t) * mPointList.get(position).x + t * mPointList.get(position + 1).x;
        }
        return (1 - t) * getBezierPointX(n - 1, position, t) + t * getBezierPointX(n - 1, position + 1, t);
    }

private ArrayList<PointF> buildBezierPoints() {
        ArrayList<PointF> points = new ArrayList<>();
        int order = mPointList.size() - 1;
        float delta = 1.0f / POINT_NUM;
        for (float t = 0; t <= 1; t += delta) {
            // Bezier点集
            points.add(new PointF(getBezierPointX(order, 0, t), getBezierPointY(order, 0, t)));
        }
        return points;
    }

2. 绘制贝塞尔曲线

Android 中的Path类可以直接绘制一阶到三阶的贝塞尔曲线，在onDraw(Canvas canvas) 方法中使用:

绘制一阶贝塞尔曲线：

canvas.drawLine(start.x,start.y,end.x,end.y);```
* 绘制二阶贝塞尔曲线：
```java 
mPath.moveTo(startPoint.x, startPoint.y);//起点
mPath.quadTo(controlPoint1.x, controlPoint1.y, endPoint.x, endPoint.y);
canvas.drawPath(mPath, mPaint);```
* 绘制三阶贝塞尔曲线：
```java 
mPath.moveTo(startPoint.x, startPoint.y);//起点
mPath.cubicTo(controlPoint1.x, controlPoint1.y, controlPoint2.x, controlPoint2.y, endPoint.x, endPoint.y);
canvas.drawPath(mPath, mPaint);```
* 绘制n阶贝塞尔曲线
n阶贝塞尔曲线绘制，需要结合递归函数，设定一条曲线由多少个点组成，通过循环获取每个点的坐标进行绘制。

![7阶贝塞尔曲线](https://img.haomeiwen.com/i1903970/204ebcd675f7a0f1.gif?imageMogr2/auto-orient/strip)

![8阶贝塞尔曲线](https://img.haomeiwen.com/i1903970/a93923157b0c6a70.gif?imageMogr2/auto-orient/strip)
### 3.Demo 

贝塞尔曲线在android中最常用的是做出一些动画特效，如QQ消息数拖拽形变效果，一些炫酷的下拉刷新控件，阅读软件的翻书效果，一些平滑的折线图的制作，某图片的运动轨迹等……
##### 3.1 形状变形
只需要知道变形前和变形后图形的数据点和控制点即可，通过改变数据点和控制点使得形状发生改变。
![变形](https://img.haomeiwen.com/i1903970/8a62b7b1d05dfa9b.gif?imageMogr2/auto-orient/strip)
初始化
```java
    private float[] mData = new float[8];               // 顺时针记录绘制圆形的四个数据点
    private float[] mCtrl = new float[16];              // 顺时针记录绘制圆形的八个控制点

    private float mDuration = 1000;                     // 变化总时长
    private float mCurrent = 0;                         // 当前已进行时长
    private float mCount = 100;                         // 将时长总共划分多少份
    private float mPiece = mDuration / mCount;            // 每一份的时长```
在onDraw(Canvas canvas)方法中绘制
```java
        path.reset();
        path.moveTo(mData[0], mData[1]);

        path.cubicTo(mCtrl[0], mCtrl[1], mCtrl[2], mCtrl[3], mData[2], mData[3]);
        path.cubicTo(mCtrl[4], mCtrl[5], mCtrl[6], mCtrl[7], mData[4], mData[5]);
        path.cubicTo(mCtrl[8], mCtrl[9], mCtrl[10], mCtrl[11], mData[6], mData[7]);
        path.cubicTo(mCtrl[12], mCtrl[13], mCtrl[14], mCtrl[15], mData[0], mData[1]);

        canvas.drawPath(path, mPaint);

        mCurrent += mPiece;
        if (mCurrent < mDuration) {

            mData[1] -= 120 / mCount;
            mCtrl[7] += 80 / mCount;
            mCtrl[9] += 80 / mCount;

            mCtrl[4] -= 20 / mCount;
            mCtrl[10] += 20 / mCount;

            postInvalidateDelayed((long) mPiece);
        }

3.2 漂浮的爱心

爱心的漂浮轨迹就是一条三阶贝塞尔曲线，结合属性动画中的估值器进行设置。

漂浮的爱心

首先定义一个属性动画的估值器

public class BezierEvaluator implements TypeEvaluator<PointF> {

    private PointF mControlP1;
    private PointF mControlP2;

    public BezierEvaluator(PointF controlP1, PointF controlP2) {
        this.mControlP1 = controlP1;
        this.mControlP2 = controlP2;
    }

    @Override
    public PointF evaluate(float time, PointF start, PointF end) {

        float timeLeft = 1.0f - time;
        PointF point = new PointF();

        point.x = timeLeft * timeLeft * timeLeft * (start.x) + 3 * timeLeft * timeLeft * time *
                (mControlP1.x) + 3 * timeLeft * time *
                time * (mControlP2.x) + time * time * time * (end.x);

        point.y = timeLeft * timeLeft * timeLeft * (start.y) + 3 * timeLeft * timeLeft * time *
                (mControlP1.y) + 3 * timeLeft * time *
                time * (mControlP2.y) + time * time * time * (end.y);
        return point;
    }
}```

* 之后自定义一个view可以生成爱心，添加透明度，缩放等动画和根据贝塞尔曲线改变其位置的属性动画。

初始化爱心图片和多个插值器等，到时随即选取
```java
   private void init() {

        // 初始化显示的图片
        drawables = new Drawable[3];
        drawables[0] = getResources().getDrawable(R.drawable.red);
        drawables[1] = getResources().getDrawable(R.drawable.yellow);
        drawables[2] = getResources().getDrawable(R.drawable.green);

        // 初始化插补器
        mInterpolators = new Interpolator[4];
        mInterpolators[0] = new LinearInterpolator();// 线性
        mInterpolators[1] = new AccelerateInterpolator();// 加速
        mInterpolators[2] = new DecelerateInterpolator();// 减速
        mInterpolators[3] = new AccelerateDecelerateInterpolator();// 先加速后减速

        // 底部 并且 水平居中
        dWidth = drawables[0].getIntrinsicWidth();
        dHeight = drawables[0].getIntrinsicHeight();
        lp = new LayoutParams(dWidth, dHeight);
        lp.addRule(CENTER_HORIZONTAL, TRUE);// 这里的TRUE 要注意 不是true
        lp.addRule(ALIGN_PARENT_BOTTOM, TRUE);

    }```
入场动画
```java
private AnimatorSet getEnterAnimator(final View target) {
        ObjectAnimator alpha = ObjectAnimator.ofFloat(target, View.ALPHA, 0.2f, 1f);
        ObjectAnimator scaleX = ObjectAnimator.ofFloat(target, View.SCALE_X, 0.2f, 1f);
        ObjectAnimator scaleY = ObjectAnimator.ofFloat(target, View.SCALE_Y, 0.2f, 1f);
        AnimatorSet enter = new AnimatorSet();
        enter.setTarget(target);
        enter.setInterpolator(new LinearInterpolator());
        enter.setDuration(500).playTogether(alpha, scaleX, scaleY);
        return enter;
    }```
贝塞尔曲线动画
```java
    private ValueAnimator getBezierValueAnimator(final View target) {
        // 初始化贝塞尔估值器
        BezierEvaluator evaluator = new BezierEvaluator(getPointF(2), getPointF(1));
        // 起点在底部中心位置，终点在底部随机一个位置
        ValueAnimator animator = ValueAnimator.ofObject(evaluator, new PointF((mWidth - dWidth) /
                2, mHeight - dHeight), new PointF(random.nextInt(getWidth()), 0));
        animator.setTarget(target);
        animator.addUpdateListener(new ValueAnimator.AnimatorUpdateListener() {
            @Override
            public void onAnimationUpdate(ValueAnimator valueAnimator) {
                // 这里获取到贝塞尔曲线计算出来的的x y值 赋值给view 这样就能让爱心随着曲线走啦
                PointF pointF = (PointF) valueAnimator.getAnimatedValue();
                target.setX(pointF.x);
                target.setY(pointF.y);
                // alpha动画
                target.setAlpha(1 - valueAnimator.getAnimatedFraction());
            }
        });

        animator.setDuration(3000);
        return animator;
    }

结合动画添加爱心

public void addHeart() {

        final ImageView imageView = new ImageView(getContext());
        // 随机选一个爱心
        imageView.setImageDrawable(drawables[random.nextInt(3)]);
        imageView.setLayoutParams(lp);
        addView(imageView);

        AnimatorSet finalSet = new AnimatorSet();

        AnimatorSet enterAnimatorSet = getEnterAnimator(imageView);//入场动画
        ValueAnimator bezierValueAnimator = getBezierValueAnimator(imageView);//贝塞尔曲线路径动画

        finalSet.playSequentially(enterAnimatorSet, bezierValueAnimator);
        finalSet.setInterpolator(mInterpolators[random.nextInt(4)]);
        finalSet.setTarget(imageView);

        finalSet.addListener(new AnimatorListenerAdapter() {
            @Override
            public void onAnimationEnd(Animator animation) {
                super.onAnimationEnd(animation);
                removeView((imageView));//删除爱心
            }
        });
        finalSet.start();

    }

3.3 贝塞尔曲线侧边索引条

https://github.com/PoplarTang/FancyListIndexer

android 贝塞尔曲线的应用

前言：

数学表达

Android中的应用

1. 获取贝塞尔曲线上点的坐标

2. 绘制贝塞尔曲线

3.2 漂浮的爱心

3.3 贝塞尔曲线侧边索引条

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