曲面积分和曲线积分的物理意义

作者: UNNAM3D | 来源:发表于2018-10-09 20:06 被阅读935次

UpDate 2018-10-09

Author unnam3d

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曲面积分（Surface Integral）的物理意义

曲面积分的形式为：

$\begin{equation*} \int_{S} \stackrel→{F}·d \overrightarrow{a} \end{equation*}$
它表示在某一向量场 $\stackrel→{F}$ 中，我们需要对这个向量场中的某个曲面 S 进行积分，而 $d\stackrel→{a}$ 表示在这个曲面上任意一点处垂直于 ΔS 方向上的方向向量（ΔS表示这个曲面上任一点处的微分曲面），即它只代表一个方向。而 $\stackrel→{F}$ 与 $d\overrightarrow{a}$ 之间的数学关系是点乘，用 · 表示，则这两者的点乘结果就表示在这个曲面上任意一点处的向量在垂直于 ΔS 方向（也就是 $\overrightarrow{a}$ 所指向的方向）上的分向量。最后将 $\overrightarrow{F}·d\overrightarrow{a}$ 对整个曲面进行一个积分，也就是对整个曲面上的每一处的点上的点乘的结果进行连续相加。就得到了在某一向量场 $\overrightarrow{F}$ 中的某个曲面 S 上垂直于 ΔS 方向上的所有分向量之和。

换句话说，曲面积分表示向量场 $\overrightarrow{F}$ 穿过曲面 S 的程度。因此也很形象的叫做通量（flux）。

此处可以联想倒为什么麦克斯韦方程组的积分形式中的二重积分又叫电通量，磁通量。

那么，由于 $\overrightarrow{F}$ 与 $d\stackrel→{a}$ 之间是点乘，根据点乘的几何定义
$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\theta \qquad(0≤\theta≤\pi)$

如果 $\stackrel→{F}$ 与 S 是平行的，那么所有向量的方向就与 $\overrightarrow{a}$ 垂直，则 $cos\theta=cos(\pi/2)=0$ ，点乘处处得0，这个曲面积分也就为0。

曲面积分（通量）为0的情况，向量F平行于曲面S：

-> -> -> -> -> -> 向量 F
- - - - - - - - - 曲面 S
-> -> -> -> -> -> 向量 F

曲面积分（通量）不为0的情况，向量F垂直于曲面S：

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 向量 F
- - - - - - - - - 曲面 S
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 向量 F

曲线积分（Line Integral）的物理意义

曲线积分的形式为：
$\int_{γ}\overrightarrow{F}·d\overrightarrow{l}$
它表示在某一向量场 $\stackrel→{F}$ 中，我们需要对这个向量场中的某个曲线 γ 进行积分，而 $d\stackrel→{l}$ 表示在这个曲线上任意一点处平行于曲线γ 的方向向量，即它也只代表一个方向。而 $\overrightarrow{F}$ 与 $d\overrightarrow{l}$ 的点乘结果就表示在这条曲线上任意一点处的向量在 $d\overrightarrow{l}$ 方向上的分向量。最后将 $\overrightarrow{F}·d\overrightarrow{l}$ 对整个曲线进行一个积分，也就是对整个曲线上的每一处的点上的点乘的结果进行连续相加。就得到了在某一向量场 $\overrightarrow{F}$ 中的某个曲线 γ 上平行于 $d\overrightarrow{l}$ 方向上的所有分向量之和。

同样的，换句话说，曲线积分表示着向量场 $\overrightarrow{F}$ 沿着曲线 γ 的程度。

如果 $\stackrel→{F}$ 与 γ 是垂直的，那么所有向量的方向就与 $\overrightarrow{l}$ 垂直，则 $cos\theta=cos(\pi/2)=0$ ，点乘处处得0，这个曲面积分也就为0。

曲线积分为0的情况，向量F垂直于曲线γ：

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 向量 F
- - - - - - - - - 曲面 γ
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 向量 F

曲线积分不为0的情况，向量F平行于曲线γ：

-> -> -> -> -> -> 向量 F
- - - - - - - - - 曲面 γ
-> -> -> -> -> -> 向量 F

特别地，如果曲线是闭合的，这个特殊的曲线积分就叫做 环量（circulation）。

比如在保守力场中，随便找一个闭合曲线，做的功都一定为0，所以，保守力场中的任意环量都为0。

总结

	曲面积分	曲线积分
表示向量场	通过曲面	沿着曲线	的程度
又叫做	通量	-
若为闭合	-	环量

数学补充

对于向量 $\overrightarrow{A}(a, b)$ 和向量 $\overrightarrow{B}(c, d)$

点乘

$\overrightarrow{A}·\overrightarrow{B}=|A||B|cos\theta \qquad (\theta为AB之间的夹角，且\theta∈[0, \pi])$
叉乘

叉乘的模

$\overrightarrow{A}×\overrightarrow{B}=|A||B|sin\theta \qquad (\theta为AB之间的夹角，且\theta∈[0, \pi]))$

叉乘的方向

如图所示，根据右手定则来决定叉乘的方向。

叉乘方向

曲面积分和曲线积分的物理意义

曲面积分（Surface Integral）的物理意义

曲线积分（Line Integral）的物理意义

总结

数学补充

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